І модель розподілу Пуасона

Внаслідок випробування з’являється число на числовій осі.

Візьмемо відрізок довжини 1 на числовій осі, зв’яжемо з цим відрізком випадкову величину (індекс зверху – довжина відрізка, з яким зв’язана випадкова величина)

: це кількість чисел, які попали у відрізок довжини 1 внаслідок проведеної нескінченної кількості випробувань. Це дискретна випадкова величина, що задається табличкою:

Позначимо

– обмежене число чи нескінченність.

Беремо на числовій осі довільний відрізок довжини . (Самостійно довести, що . Примітка! Використати формулу, яка буде доведена далі: )

Перший випадок. Довжина – ціле число.

Другий випадок. Довжина – раціональне, з обмеженою кількістю занків після коми.

Наприклад, . Маємо довжин по 1 +

ділимо цей відрізок на 1000, отримуємо

Для будь-якої кількості знаків після коми формула має місце, а, отже, існує граничний перехід.

Беремо довільний відрізок довжини , вибираємо достатньо велике число – натуральне: було таким малим, щоб можна було застосувати умову ординарності (вважаючи, що на попадає одне число, чи нуль).

Розбиваємо відрізок на частин, зв’язуємо випадкову величину , тоді її можна задати табличкою

. Тому , де

Ймовірність того, що на відрізок довжини попаде рівно чисел дорівнює (використати умову безпіслядії) (самостійно провести повний аналог між попаданням чисел на відрізок довжини і біномінальним розподілом. Аналог незалежних випробувань попадання чи непопадання числа в відрізок) = Спрямувавши , отримаємо:

Перевірка

, оскільки , бо ця сума є розвиненням у ряд Маклорена