Випадкові величини

Введення в теорію ймовірностей випадкових величин призвело до того, що ця наука стала необхідним інструментом в будь-якій області діяльності людини.

Випадкова величина задається випробуваннями, результатом якого є число. Таким чином, коли ми розглядаємо випробування, простором елементарних подій є сукупність чисел.

Розрізняють два типи випадкових величин:

· Дискретні

· Неперервні

Дискретною випадковою величиною зветься випадкова величина, простір елементарних подій якої є обмежена чи нескінченно злічена множина чисел.

Дискретна випадкова величина задається наступною табличкою:

, де задається для зручності у порядку зростання, і – обмежене число чи . Перший рядок складають елементарні події,всі можливі числові. Другий – ймовірності наставання цих елементарних подій. З 3 аксіоми Колмогорова випливає, що

Неперервною випадковою величиною зветься випадкова величина, простір елементарних подій якої є вся числова всі, чи відрізок (відрізки) числової осі. Неперервна випадкова величина є математичною абстракцією, але без неперервних величин не існує жодної граничної теореми.

Функцією розподілу випадкової величини зветься числова скалярна функція дійсного аргументу , яка при будь-якому фіксованому значенні дорівнює ймовірності наставання наступної події:

Ця рівність читається так: значення функції розподілу при фіксованому значенні аргументe дорівнює ймовірності наставання наступної події:

Внаслідок випробування випадкова величина приймає числове значення, яке строго менше фіксоване.

Примітка! (велика літера) – випадкова величина, (маленька літера) – аргумент її функції розподілу чи функції щільності.

Властивості функції розподілу

1)

2)

Для подій:

так як ці дві події несумісні.

Розглянемо настeпуну частину прямої

для дискретної випадкової величини простір елементарних подій складається з усіх елементарних , які менші

Тоді за 3 аксіомою Колмогорова отримаємо наступну рівність:

Доведення:

так як події несумісні.

З означення функції розподілу отримаємо .

Ймовірність того, що внаслідок випробування випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього півінтервалу.

3) Функція розподілу – неспадна функція.

Із закону великих чисел випливає:

Побудуємо функцію розподілу для дискретної випадкової величини