Незалежні події

Незалежні події

Події і звуться незалежними, якщо: .

З цього означення випливає зміст терміну «незалежні події».

Нехай , , тоді

Нехай навпаки:

Тоді:

Доведення:

Аналогічно і для другої частини.

Таким чином отримали еквівалентні означення незалежності подій. Якщо , то і незалежні тоді, коли:

З еквівалентного означення незалежності і випливає: Подій і незалежні, якщо ймовірність наставання однієї з них не залежить від того настала чи не настала інша.

Якщо подій і незалежні, то незалежні також події

Доведення для :

Означення: Події звуться незалежними, якщо

Незалежні сукупності:

Події називаються незалежними в сукупності, якщо для для

Якщо подій є незалежними в сукупності, то вони автоматично є незалежні. Зворотне твердження не вірне.

Нехай подій є незалежними в сукупності. Фіксуємо довільний набір індексів і беремо . Знайдемо

виконується , то це еквівалентне означення в сукупності.

Формула повної ймовірності

, ,

Події попарно не перетинаються

Події і зв’язані рівністю:

Знайдемо

Яку б не взяли складну подію з , вона обов’язково є у чи .

Події попарно несумісні

Приклад. Нехай маємо три склади урн: 7 урн першого типу, 4 урни другого типу та 6 урн третього типу. В кожній урні першого типу є 10 білих і 11 чорних кульок, у кожній урні другого типу – 5 білих і 10 чорних,, а в урнах третього типу – 3 білих і 7 чорних. Заплющивши очі навмання підійти до урни, перемішати кульки, вийняти 1 кульку, подивитись, кинути назад і перемішати знову.Знайти ймовірність того, що витягнута кулька біла.

Урни І типу 7 шт.	10 білих	11 чорних
Урни ІІ типу 4 шт.	5 білих	10 чорних
Урни ІІІ типу 6 шт.	3 білі	7 чорних

Елементарні події – усі кульки, – всі білі кульки, – кількіть різних типів урн, – всі кульки, що входять в 7 урн першого типу.

– всі кульки, що входять в 4 урни другого типу.

– всі кульки, що входять в 6 урн третього типу.

Всі події попарно несумісні, тому:

Приклад. Та сама постановка задачі, що і у прикладі, наведеному вище. Треба знайти у результаті випробування з’явилась біла кулька, знайти ймовірність того, що вона витягнута з урни -ого складу.

Знайти з попереднього прикладу.