Інженерний варіант аксіом Колмогорова

Довільній події ставиться у відповідність число, що зветься ймовірністю наставання події .

Аксіоми:

1)

2)

3) , ,

тоді

може бути , тому що основні результати теорії ймовірностей випливають з граничних теорем, а для доведення граничних теорем оперують з нескінченним об’єднанням чи перетином довільних подій.

Зміст аксіом Колмогорова

Так як для будь-якого частості задовольняють своїм 3 властивостям, то і для необмеженого - ці властивості повинні виконуватись. Якщо він доведе, що його аксіоматичні ймовірності – границя частості події, то цими самими властивостями повинні задовольняти:

Наприклад. де -- обмежене число або

За означенням елементарні події несумісні за третьою аксіомою . Покажемо, що виконуються перша і третя аксіоми Колмогорова.

Розглянемо довільну подію

Таким чином ймовірності аксіоматичні по Колмогорову побудовано. А з теореми великих чисел (Бернуллі):

Примітка! У цьому поясненні не фіксується як розуміється цей ліміт.

У теорії ймовірностей існують 4 види збіжностей:

1) Збіжність з ймовірністю 1;

2) Збіжність по ймовірності;

3) Збіжність у середньоквадратичному;

4) Збіжність по розподілу.

У нашому курсі буде розглянуто 2 та 3 тип збіжностей.

Простір елементарних подій складається з обмежених елементарних подій.

Тоді за прикладом, що наведений вище, мають місце формули:

Всі елементарні події є рівноправними, тобто жодній елементарній події не можна віддати перевагу до випробування (жодне з них не може наставати частіше, ніж інше).

Класичне означення ймовірності:

Ймовірність наставання довільної події дорівнює дробу, де чисельник – кількість подій, що входять в , а -- загальна кількість елементарних подій.

Наприклад. = напівінтервал [0,1). Маємо голку, кінець якої вважатимемо матеріальною точкою. Кидаємо голку в цей інтервал, вона гарантовано попадає в нього. Усі елементарні події – усі різні числа з [0,1). Усі ці числа рівноправні, а значить рівно ймовірні. . Покажемо, що якщо , то

Так як і , то з цього миттєво випливає, що ймовірність будь-якого числа

Самостійно довести, взявши в якості А усі раціональні числа з [0,1).

Подія може настати внаслідок випробування і має ймовірність настання 0. Якщо пів інтервал розділити пополам, то випливає, що ймовірність наставання першої складної події

дорівнює ймовірності наставання другої складної події, і дорівнює .

Якщо – простір елементарних подій є нескінченно злічена множина чисел на числовій осі, то може виникнути ситуація, що кожне число теоретично може настати в результаті випробування, а ймовірність наставання для нього рівна 0. А не 0 має ймовірність наставання складна подія, що є нескінченною, незліченною.

Доведення: