Умовна ймовірність

Умовною ймовірністю наставання події при умові, що при випробуванні настала подія записується так:

Знайдемо цю ймовірність, якщо прості елементарних подій

І

Так як в нашому випробуванні відомо, що настала елементарна подія складу , а всі елементарні події рівноправні за постановкою задачі, то для цього випробування поява кожної елементарної події, що входить у склад дорівнює .

У випробуванні подія настає тоді і тільки тоді, коли настане елементарна подія складу . І за класичною формулою випливає: .

Загальний випадок

У загальному випадку ця формула не виводиться, а тільки обґрунтовується.

Проведемо довільних випробувань і зафіксуємо з них випробувань, в кожному з яких настала подія і випробувань, в кожному з яких настала подія і , і одночасно.

Теорія ймовірностей будується для випадку, коли частість наставання будь-якої події у довільній, необмеженій кількості випробувань, що має одну границю, що зветься її ймовірністю.

Тоді умовна частість наставання події А за умови, що настала :

при чисельник має границю , а знаменник – .

(границя умовної частості)

Узагальнення умовної ймовірності

Ймовірність перетину довільної кількості подій

Розглянемо довільну послідовність подій і нехай:

Тоді має місце формула:

У формулу входить умовна ймовірність. Для того, щоб умовні ймовірності існували треба, щоб всі відповідні знаменники були . Покажемо, що всі знаменники , якщо виконується:

Нехай формула виконується для