Лекция № 21-22

Тема «Функции нескольких переменных»

Цель: рассмотреть частные производные и полный дифференциал, научить находить производные высших порядков.

Ключевые слова: частная производная, полный дифференциал, частное и полное приращение функции.

Вопросы:

1. Частные производные и полный дифференциал.

2. Производные высших порядков.

3. Применение частных производных в экономике.

1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее приращение стремится к нулю.

, - частная производная по х.

- частная производная по y.

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:

, причем .

Пример 1. Найти полный дифференциал функции .

Решение. .

Найдем частные производные.

- вычислим производную по x, считая y постоянным.

.

- вычислим производную по y, считая x постоянным.

.

Тогда .

Пример 2. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда с изменениями a=8м, b=6м, c=3м, когда его длина и ширина увеличатся соответственно на 10см и на 5см, а высота уменьшится на 15см.

Решение: Объем параллелепипеда V=zyx, где x, y,z- его измерения. Приращение объема можно приближенно вычислить по формуле:

где

.

По условию x=8, y=6, z=3, ; ; dz = -0,15

. Тогда получим:

Ответ: объем уменьшится на 4,2 см².

Пример 3. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Искомое число можно считать приращенным значением этой функции при x=1; y=3; ; ; .

Воспользуемся формулой:

Тогда по формуле получится .

2.Производные высших порядков.

Для функции нескольких переменных можно определить производную от производных, т.е. производные высших порядков. Для производных второго порядка функции приняты следующие обозначения.

- функция дифференцируется по x последовательно два раза, считая y постоянной величиной;

-функция сначала дифференцируется по x, а затем результат дифференцируется по y;

- функция последовательно дифференцируется по y два раза. Следует иметь в виду, что при условии, что они непрерывны. Производные называются смешанными.

Аналогично вводятся частные производные 3-го и т.д. порядков.