В экономике

Частные производные используются при решении задач оптимального планирования, при определении эластичности спроса предложения. Предположим, что спрос на некоторый товар Q зависит от цены P, доходов потребителей Y и цены альтернативного товара , т.е. .

Требуется определить как меняется спрос при изменении цен и доходов.

Для решения задачи введем ряд определений и формул.

Эластичность спроса от цены P определяется как при неизменных значениях и Y, т.е. по формуле: .

Перекрестный коэффициент эластичности определяется по формуле: . Здесь постоянными являются P и Y. Значение может быть как >0, так и <0, что зависит от характера альтернативного товара. Если он относится к взаимозаменяемым товарам, то , а значит . Если же альтернативный товар относится к взаимодополняющим, то , а значит .

Формула эластичности спроса от доходов: .

Для качественных товаров спрос увеличивается с ростом доходов, поэтому . Потребление же низкосортных товаров с ростом доходов уменьшается, поэтому , т.е. эластичность спроса от доходов отрицательна.

Пример 4. Для функции спроса определить эластичности при цене товара P=20 тенге, цене альтернативного товара тенге и доходе Y=2000 тенге.

Решение. Определим значение спроса Q:

,

тогда

,

тогда . Так как перекрестный коэффициент , то товары взаимозаменяемы.

, поэтому .

Так как , то с ростом доходов спрос будет увеличиваться.

Вывод.

Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных по независимым переменным первого, второго и выше порядков, которые используются при нахождении экстремумов, а также при решении экономических задач.

Частные производные второго порядка z˝_ху и z˝_ух называются смешанными, они равны друг другу, так что не следует находить их обе.

Частные производные используют для нахождения полного дифференциала функции нескольких переменных, а он может применяться для приближенных вычислений.