Символы асимптотического сравнения

Напоминаем: Если то функция f (x) называется бесконечно малой величиной и обозначается .

Если такое, что при , то функция называется ограниченной и обозначается .

Def.

1) f (x) = o (g (x)) при x ® a Û $ h (x) f (x)= h (x) g (x) и h (x)= o (1).

Читается: f (x)есть величина бесконечно малая по сравнению с g (x).

2) f (x) = O (g (x)) при x ® a Û $ h (x) f (x)= h (x) g (x) и h (x)= O (1).

Читается: f (x)есть величина ограниченная по сравнению с g (x).

3) f (x)~ g (x) при x ® a Û $ h (x) f (x)= h (x) g (x) и h (x)=1+ o (1).

Читается: величины f (x)и g (x) эквивалентны.

4) f (x)≍ g (x) при x ® a Û $ h (x) f (x)= h (x) g (x);

h (x)= O (1) и отделена от нуля.

Читается: величины f (x)и g (x) одного порядка.

Немного другие формы записи тех же определений.

Def.

1) o (f (x)) = Û ,

2) O (f (x)) = ,

3) f (x)~ g (x) Û ,

4) f (x)≍ g (x) Û .

При этом:

1˚ f (x) = o (g (x)) Þ f (x) = O (g (x));

2˚. f (x)~ g (x) Þ f (x)≍ g (x);

3˚ f (x)~ g (x) Þ f (x) = O (g (x));

4˚ f (x)≍ g (x) Û f (x) = O (g (x)) Ù g (x) = O (f (x)).

Все эти соотношения транзитивны:

1˚ f (x) = o (g (x))Ù g (x) = o (h (x))Þ f (x) = o (h (x));

2˚ f (x) = O (g (x))Ù g (x) = O (h (x))Þ f (x) = O (h (x));

3˚ f (x)~ g (x)Ù g (x)~ h (x)Þ f (x)~ h (x);

4˚ f (x)≍ g (x)Ù g (x)≍ h (x)Þ f (x)≍ h (x).

Отношения эквивалентности, ограниченности и однопорядковости рефлексивны, т.е.

1˚ f (x)~ f (x);2˚ f (x) = O (f (x)); 3˚ f (x)≍ f (x).

Отношение пренебрежимости не рефлексивно и не симметрично

1˚ f (x)≠ o (f (x)); 2˚ f (x) = o (g (x)) Þ g (x)≠ o (f (x)).

Отношение эквивалентности и однопорядковости симметрично

1˚ f (x)~ g (x) Þ g (x)~ f (x);

2˚ f (x)≍ g (x) Þ g (x)≍ f (x).

Отношение относительной ограниченности антисимметрично

f (x) = O (g (x)) Ù g (x) = O (f (x)) Þ f (x)≍ g (x).

В произведениях и в суперпозициях о -символов получаем, как результат, наименьшее о, а в суммах наибольшее О.

; .

Все отношения (кроме эквивалентности) не чувствительны к знаку входящих функций.

Def. Если функция f (x)может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, причем второе есть величина бесконечно малая по сравнению с первым , то первое слагаемое f ₀(x) называется главным членом функции f (x).

Т˚. Две величины эквивалентны тогда и только тогда, когда разность между ними есть величина бесконечно малая по сравнению с любой из них.

Δ f (x)~ g (x) Û Û Û Û Û .

Аналогично получаем, что . ▲

Т˚. Если эквивалентные величины имеют пределы, то эти пределы равны. Δ ▲.

Т˚. Главный член произведения равен произведению главных членов.

Δ Пусть и т.е. и являются главными членами функций и соответственно. Тогда:

=

= =

= =

= .

Следовательно, есть главный член для произведения . ▲

Замечание: Обращаем внимание на то, что главный член суммы (разности), вообще говоря, не равен сумме (разности) главных членов.

На (+∞) показательная функция с основанием больше 1 (меньше 1) растет (убывает) быстрее любой степени, а логарифмическая функция возрастает медленнее любой степени:

; .