Непрерывность логарифмической функции

Мы уже установили, что последовательность монотонно возрастает, ограничена сверху и , а последовательность монотонно убывает, ограничена снизу и . Тогда:

Þ Þ

Þ .

Логарифмируем неравенство: . Получаем два неравенства:

а) ; б) .

Следовательно: .

Заменив в этом неравенстве n на – n получим:

.

Объединяем полученные выше два неравенства:

. Выбирая , получаем: .

Т.е. или .

Следовательно, функция непрерывна в точке .

Теперь рассмотрим .

Отсюда заключаем, что: .

Следовательно, функция непрерывна в точке " b Î R.