Упражнение 34

Ряд å сходится при р>1 и расходится при р£1.

Расходимость ряда å говорит нам, что условие в упр. 29 является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда åa_n.

Def. .

Упражнение 35.
Проверьте корректность этого определения и докажите, что е<3.

Число е, основание натуральных логарифмов и, наряду с числом p, важнейшая константа в математике, может быть определена и по-другому, с помощью другого предела. Доказательство этого факта и важно и трудно одновременно, поэтому дадим некоторые наводящие соображения.
Обозначив и с помощью бинома Ньютона докажите, что

Упражнение 36. t_n£s_n, так что .

Теперь рассмотрите при n³m, фиксируя (произвольное) m и устремляя n к бесконечности, снова, из бинома Ньютона выведите, что

Упражнение 37. .

И теперь, собрав воедино оба результата, обоснуйте следующий вывод: