Упражнение 24

Докажите, что последовательности, сходящиеся к нулю образуют подпространство F₀ в пространстве всех сходящихся последовательностей (и, стало быть, и в пространстве всех последовательностей Коши).

Таким образом, имеет смысл говорить о факторпространстве F_C/ F₀.

Упражнение 25.*

Введите в нём метрику, проверьте корректность вашего определения, и докажите, что полученное вами пространство полно и линейно упорядочено.

Само F вкладывается в него естественным, “диагональным” способом: f®{f,f,..}. Таким образом, получен новый способ «избавляться от дыр», более универсальный, чем способ построения вещественных чисел с помощью сечений во множестве рациональных чисел, но, видимо, более трудный для усвоения.

Def. Пусть имеется последовательность {f_n} и n₁<n₂<…<n_k<…Тогда последовательность , k=1,2,…называется подпоследовательностью последовательности {f_n}.