Бесконечные последовательности, ряды и произведения[1]

Бесконечные последовательности, ряды и произведения[1].

Под последовательностью мы понимаем любое отображение f натурального ряда N в произвольное множество A. Образ этого отображения при этом становится вполне упорядоченным: на него переносится порядок из прообраза – множества натуральных чисел. Вместо записи а=f(n) пишут обычно a_n. Часто присоединяют ещё и ноль, так что первым элементом последовательности становится а₀. Если же множество А само упорядочено, то порядок в нём, естественно, может и не совпадать с порядком следования элементов последовательности: второй элемент может оказаться меньше первого, например. Если же окажется, что он всё-таки совпадает, то есть каждый последующий элемент не меньше предыдущего, то такая последовательность называется монотонно возрастающей (неубывающей). Если каждый элемент в последовательности больше своего предшественника, то такая последовательность называется строго возрастающей. Соответственно определяются убывающие последовательности. К монотонным последовательностям относят как все возрастающие, так и все убывающие последовательности. Поскольку нам нужны будут операции, множество А будет у нас в этом конспекте, как минимум, конечномерным векторным пространством (хотя имеет смысл рассматривать в качестве А различные топологические пространства), а вообще-то чаще всего даже просто полем (например, вещественных или комплексных чисел).

Пусть f,g:N®C - две последовательности комплексных чисел; f={f₁,f₂,…,f_n,…}, g={g₁,g₂,…,g_n,…}.