![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Постройте последовательность, множеством частичных пределов которой служит вся вещественная прямая.
Расширенной системой вещественных чисел называют вещественную прямую R вместе с добавленными к ней двумя символами, +¥ и -¥. Операции с ними устроены так:
-¥+х=-¥ "x, -¥×х=-¥ "х>0, -¥×х=+¥ "х<0, +¥+х=+¥ "x, +¥×х=+¥ "х>0, +¥×х=-¥ "х<0,
-¥<x<+¥ "x. Операции между ними, а также умножение их на ноль не определяются. Окрестностями этих двух добавленных точек являются, соответственно, все числа большие какого-то числа (меньшие какого-то числа). Таким образом, мы пишем рn®+¥ если "M $N|n³N Þpn>M. Аналогично определяют ®-¥.
Def. В расширенной системе вещественных чисел теперь рассмотрим множество Е всех частичных пределов последовательности вещественных чисел {fn}. Тогда f*=supE и f*=infE называются соответственно верхним и нижним пределом последовательности {fn}. Обозначают это, соответственно, как и
.
Def. (Бесконечным) рядом называют последовательность {sn} частичных сумм sn=
. Бесконечным произведением
называют последовательность {sn} частичныхпроизведений sn=
. Итак, оба понятия являются производными от понятия последовательности. Мы, если не оговорено противное, предполагаем все аnÎC.
Опираясь на теорему о полноте вещественной и комплексной прямых, R и R2=C, докажите критерий Коши сходимости ряда:
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 162 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!