Функциональные ряды

Определение 3.1. Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида

(3.1)

называется функциональным рядом.

Придавая определенные значения , получаем числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 3.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .

Пример 3.1. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Область определения функций – это .

Данный ряд является членом геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд сходится, если .

Û Û .

Поэтому область сходимости исследуемого ряда является интервал . Таким образом, .

,

Так как каждому соответствует некоторое число – сумма числового ряда, то указанное соответствие определяет функцию , которая называется суммой ряда (3.1) в области . Сумма функционального ряда в области сходимости определяется равенством

,

где - - я частичная сумма функционального ряда.

В таком случае - есть - й остаток функционального ряда. В области сходимости ряда .

Пример 3.2. Найти область сходимости и сумму функционального ряда

.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех . Таким образом, область сходимости .

В области сходимости данного функционального ряда найдем сумму. По формуле суммы геометрической прогрессии при получаем

, при .

,