Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента .

Определение 3.3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (3.2)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, - фиксированное число.

При получаем степенной ряд вида

. (3.3)

Ряд (3.2) легко приводится к ряду (3.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (3.3).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (3.2) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству

.

Доказательство. Рассмотрим числовой ряд , который сходится по условию. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Поэтому все члены ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число , что при всех имеет место неравенство .

Запишем ряд (3.3) следующим образом:

,

и составим ряд из абсолютных членов

.

В силу установленного неравенство каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем :

.

Если , то и прогрессия сходится. Поэтому сходится и ряд, составленный из абсолютных величин. А значит, абсолютно сходится ряд (3.3).

,

Несмотря на то, что , мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке сходится абсолютно.

Следствие. Если степенной ряд (3.3) расходится в точке , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству

.