![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента .
Определение 3.3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (3.2)
где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда,
- фиксированное число.
При получаем степенной ряд вида
. (3.3)
Ряд (3.2) легко приводится к ряду (3.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (3.3).
Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (3.2) сходится в точке
).
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.
Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех
, удовлетворяющих неравенству
.
Доказательство. Рассмотрим числовой ряд , который сходится по условию. Следовательно, по необходимому признаку сходимости
. Поэтому все члены ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число
, что при всех
имеет место неравенство
.
Запишем ряд (3.3) следующим образом:
,
и составим ряд из абсолютных членов
.
В силу установленного неравенство каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем :
.
Если , то
и прогрессия сходится. Поэтому сходится и ряд, составленный из абсолютных величин. А значит, абсолютно сходится ряд (3.3).
,
Несмотря на то, что , мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке
сходится абсолютно.
Следствие. Если степенной ряд (3.3) расходится в точке , то он расходится и при всех
, удовлетворяющих неравенству
.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 1133 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!