Интервал и радиус сходимости

Их теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит их точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (3.3) расходится.

Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом, - это такое число, что при всех , для которых , ряд (3.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рисунок).

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

В частности, когда ряд (3.3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же ряд (3.3) сходится при всех значениях (т.е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых

.

Ряд, составленный из модулей членов ряда (3.3), расходится при тех значениях , для которых .

Таким образом, для ряда (3.3) радиус сходимости

. (3.4)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно получить, что

. (3.5)

Замечания.

1. Если , то ряд (3.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .
2. Если дан степенной ряд (3.2), то его радиус сходимости определяется также по формулам (3.4) или (3.5), а интервал сходимости будет интервал с центром в точке : .

Пример 3.3. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. I способ.

Чтобы найти радиус сходимости воспользуемся формулой (3.4). По условию

и .

Тогда

.

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

II способ.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера:

и .

Тогда

Ряд сходится по признаку Даламбера, если . Тогда

Û Û .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

,

Пример 3.4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

Из примера 3.3. имеем следующий интервал сходимости .

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид .

Данный ряд является знакочередующимся рядом. Для исследования на сходимость используем признак Лейбница.

а) - выполняется;

б) - выполняется

Значит, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Поэтому точку включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. Он расходится как ряд Дирихле при . Поэтому точку не включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал .

,

Пример 3.5. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

I способ.

Чтобы найти радиус сходимости воспользуемся формулой (3.5). По условию

и .

Тогда

.

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

II способ.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

По радикальному признаку Коши ряд сходится, если . Тогда

Û Û .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид

.

Данный ряд является знакочередующимся рядом. Для исследования на сходимость используем признак Лейбница.

а) - не выполняется;

Значит, знакочередующийся ряд расходится по признаку Лейбница. Поэтому точку не включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. [Радикальный признак Коши не подходит, так как ]. Воспользуемся достаточным признаком расходимости ряда.

Ряд расходится. Поэтому точку не включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости .

,

Пример 3.6. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера:

и ,

.

По признаку Даламбера . Тогда

Û Û Þ .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид

.

Данный ряд является знакочередующимся рядом. По признаку Лейбница он сходится. Поэтому точку включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Тогда

.

Несобственный интеграл сходится. Значит, и ряд сходится. Поэтому точку включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда имеет вид .

,

Пример 3.7. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Находим радиус сходимости по формуле (3.4):

и .

Тогда

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.,