Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, у членов которых поочередно изменяются знаки. Такие ряды называются знакочередующиеся.

Определение 2.1. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (2.1)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.

Теорема 2.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если

1) последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.

;

2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

При этом сумма ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам .

Следствие. Остаток ряда (2.1) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е.

.

Например, по признаку Лейбница ряд

сходится, т.к. выполняются условия теоремы 2.1:

1) ; 2) .