Разложение функций в степенной ряд

Для приложений важно уметь данную функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

,

(3.8)

где , - остаточный член в форме Лагранжа. Причем число можно записать в виде , где .

Формулу (7.8) можно записать в виде

,

где - многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при (), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степени , называемое рядом Тейлора:

.

(3.9)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

.

(3.10)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходится, но не к функции .

В следующей теореме (которую примем без доказательства) сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции .

Теорема 3.2. Для того чтобы ряд Тейлора (3.9) функции сходился к функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (3.8) стремился к нулю при , т.е. чтобы .

Для разложения функции в ряд Маклорена (3.10) нужно:

1. найти производные ;
2. вычислить значения производных в точке ;
3. выписать ряд (3.10) для заданной функции и найти его интервал сходимости;
4. найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Пример 3.9. Разложит в ряд Маклорена функцию и найти область, в которой ряд сходится к данной функции.

Напомним: , .

Решение. Находим производные функции :

, , , ….

Таким образом, , если - четное, и , если - нечетное.

Полагая , получаем , , , , …, , если - четное, и , если - нечетное. Подставим найденные производные в ряд (3.10). Имеем

. (*)

Остаточный член в форме Лагранжа имеет следующий вид:

если - четное, то

,

где при и ;

если - нечетное, то

,

где при и .

Так как , то и . Значит,

.

при любом . Следовательно, при любом и . Значит, ряд (*) сходится к функции на всей числовой прямой.

,

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

1. , при ;
2. , при ;
3. , при ;
4. , при ;
5. , при ;
6. ,

при ;

1. , при ;
2. , при .

Пример 3.10. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. При разложении в степенной ряд функции в формулу разложения функции вместо поставляем . Тогда получаем

.

Полученный ряд сходится при любых . Но следует помнить, что функция не определена при . Поэтому найденный ряд сходится к функции только в полуинтервале .

,