![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы, которые примем без доказательства.
Теорема 1.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:
(1.8)
и
(1.9)
Если для всех выполняется неравенство
, то
1) из сходимости ряда (1.9) следует сходимость ряда (1.8);
2) из расходимости ряда (1.8) следует расходимость ряда (1.9).
Надо отметить, что теорема 1.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (1.8) и (1.9), а начиная с некоторого номера
. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.
Теорема 1.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (1.8) и (1.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел
где , то ряды (1.8) и (1.9) сходятся или расходятся одновременно.
Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, так как
. Имеем
. Следовательно, данный ряд сходится.,
Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Здесь . Возьмем для сравнения гармонический ряд
, который расходится. Имеем
. Следовательно, данный ряд расходится.,
Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим предельный признак сравнения, используя гармонический ряд . Так как
, то данный ряд расходится.,
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 628 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!