Признаки сравнения рядов

Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы, которые примем без доказательства.

Теорема 1.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1.8)

и

(1.9)

Если для всех выполняется неравенство , то

1) из сходимости ряда (1.9) следует сходимость ряда (1.8);

2) из расходимости ряда (1.8) следует расходимость ряда (1.9).

Надо отметить, что теорема 1.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (1.8) и (1.9), а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

Теорема 1.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (1.8) и (1.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел

где , то ряды (1.8) и (1.9) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, так как . Имеем . Следовательно, данный ряд сходится.,

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь . Возьмем для сравнения гармонический ряд , который расходится. Имеем . Следовательно, данный ряд расходится.,

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим предельный признак сравнения, используя гармонический ряд . Так как , то данный ряд расходится.,