Вычисление длины дуги плоской кривой. Если кривая задана уравнением , и производная непрерывна на

Если кривая задана уравнением , и производная непрерывна на , то длина l дуги АВ (рис. 31) вычисляется по формуле

.

Рис. 31.

При параметрическом задании кривой , где – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги кривой, соответствующая монотонн­ому изменению параметра от до , вычисляется по формуле

.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и непрерывна, то длина дуги кривой равна

.

Пример 4.32. Вычислить длину дуги кривой от до

Решение. Найдем производную :

Следовательно,

.

Пример 4.33. Вычислить длину дуги кривой

Решение. Найдем производные по параметру :

.

Следовательно,

.

Пример 4.34. Вычислить длину дуги кривой от до

Решение. Имеем Следовательно,