Вычисление площади плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , где , прямыми и

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , где , прямыми и и отрезком оси x (рис. 24), вычисляется по формуле

Рис. 24.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций и (где ) и прямыми и (рис. 25), находится по формуле

.

Рис. 25.

Если кривая l задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком оси x, выражается формулой

где и определяются из условий , . Формула верна, если при выполнено неравенство . Эту же формулу можно применять для вычисления площади фигуры, ограниченной заданной параметрически кривой, то есть в случае, когда и . При этом порядок пределов интегрирования надо выбирать так, чтобы при изменении t от t ₁ до t ₂ фигура оставалась справа.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами (рис. 26), вычисляется по формуле

.

Рис. 26.

Замечание. Полярными координатами точки М являются и : – полярный радиус (расстояние от точки О, называемой полюсом, до точки М) и – полярный угол (угол между полярным радиусом и осью Ох) (рис. 27).

Рис. 27.

Связь между полярными координатами и декартовыми:

.

Пример 4.28. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 28).

Рис. 28.

Решение. Парабола пересекает ось в точках и M (3; 0). Следовательно,

.

Пример 4.29. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой (рис. 29).

Рис. 29.

Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой, для чего решим систему уравнений:

или .

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: откуда , и Значит, заданные линии пересекаются в точках и . Следовательно,

.

Пример 4.30. Вычислитьплощадь плоской фигуры, ограниченной кривой

Решение. Кривая является замкнутой, и один оборот проходится при изменении t от до . При этом ограниченная кривой фигура находится справа при таком изменении t. Поэтому, так как

, и t изменяется от до . Следовательно,

Пример 4.31. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми .

Решение. Эти кривые суть окружности радиуса 1 и 2 соответственно, касающиеся в точке (0; 0) (рис. 30).

Рис. 30.

Так как по определению то и, значит, угол меняется от до . Тогда