Интегрирование тригонометрических функций

При интегрировании тригонометрических функций часто используют универсальную тригонометрическую подстанов­ку: В результате этой подстановки имеем:

Исходный интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби.

Пример 4.20. Найти интеграл .

Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку.

.

Возвращаясь к переменной x, получим

.

Универсальная тригонометрическая подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях интегрирование может быть упрощено.

1) Если подынтегральная функция является нечетной функцией относительно , то удобно применять подстановку

2) Если подынтегральная функция является нечетной функцией относительно то применяют подстановку

3) Если подынтегральная функция является четной относительно и то применяют подстановку

Пример 4.21. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию.

.

Полученная дробь является нечетной функцией относительно поэтому удобно воспользоваться подстановкой:

.

.

Возвращаясь к переменной х, получим

.