Интегрирование с помощью замены переменной

Справедлива формула замены переменной в неопределенном интеграле: если , то

.

После того, как найдена первообразная в правой части последнего равенства, следует вернуться к старой переменной с помощью обратной замены .

Пример 4.8. Найти интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной:

, , и тогда

.

Для интегралов вида удобно делать подстановку , (свойство 4).

Пример 4.9. Найти интеграл

Решение. Пусть тогда

После подстановки в исходный интеграл получим

.

Пример 4.10. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену переменной:

, ;

, .

.