Формули скороченого множенея

16. Множення різниці двох виразів на їх суму

Помножимо різницю а - b на суму a + b:

(a - b)(a + b) = a ² + аb - ab - b ²= a ² - b ².

Отже,

(a - b)(a + b) = a ² - b ².

Одержана тотожність дозволяє множити різницю двох виразів на їх суму не за правилом множення двох многочленів, а скорочено: відразу записувати добуток у вигляді a ² - b ². Тому доведену тотожність називають формулою скороченого множення. Формулюють її так:

Добуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.

Помножимо за цим правилом різницю 2 x - 3 y на суму 2 x + 3 y:

(2 x - 3 y)(2 x + 3 y) = (2 х)² - (3 y)² = 4 х ² - 9 y ².

З переставної властивості множення випливає, що й добуток суми двох виразів та їх різниці дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(a + b)(a - b) = a ² - b ².

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Виконати множення:

а) (3 a ² + 5 b ³)(3 a ² - 5 b ³); б) (- a - 2 b)(a - 2 b);

в) (х - 3)(х + 3)(х ² + 9).

● а) (3 a ² + 5 b ³)(3 a ² - 5 b ³) = (3 a ²)² - (5 b ³)² = 9 a ⁴ - 25 b ⁶;

б) (- a - 2 b)(a - 2 b) = -(a + 2 b)(a - 2 b) = -(a ² – 4 b ²)= 4 b ² - a ²;

в) (х - 3)(х + 3)(х ² + 9) = (х ²- 9)(х ² + 9) = (х ²)² - 9² = х ⁴ - 81. ●

Приклад 2. Обчислити 3,2 × 2,8.

● 3,2 × 2,8 = (3 + 0,2)(3 - 0,2) = 3²- 0,2² = 9 - 0,04 = 8,96. ●

Усно

542. Вкажіть правильну рівність:

a) (a - 2 b)(a + 2 b) = a ² - 2 b ²; б) (a - 2 b)(a + 2 b) = a ² + 4 b ²;

в) (a - 2 b)(a + 2 b) = (a - 2 b)²; г) (a - 2 b)(a + 2 b) = a ² - 4 b ².

Рівень А

Перемножте многочлени:

543. а) (k - n)(k + n); б) (m - 4)(m + 4);

в) (1 - b)(1 + b); г) (4 a + 5 b)(4 a - 5 b).

544. а) (b + c)(b - c); б) (4 + n)(4 - n); в) (3 y - 2 z)(3 y + 2 z).

545. а) (b + a)(- a + b); б) (x + y)(- x + y); в) (-1 + b)(1 + b).

Запишіть у вигляді многочлена:

546. а) (y ² - 1)(y ² + 1); б) (2 + b ³)(2- b ³); в) (m - 3 m ²)(m + 3 m ²);

г) (2 ab + 5)(2 ab - 5); д) (4 n ² + k)(-4 n ² + k); е) (- a ² + 3 b)(a ² + 3 b).

547. а) (a ² + 3)(a ²- 3); б) (2 x ³ - 7)(2 x ³ + 7); в) (6 - 5 zt)(6 + 5 zt);

г) (-2 + c)(2 + c); д) (4 x + 3 y)(-4 x + 3 y); е) (–2 a + 5 b)(2 a + 5 b).

548. Знайдіть значення виразу (x - y)(x + y), якщо:

а) x = 100 і y = 2; б) x = 10 і y = 0,2; в) x = 1 і y = 0,02.

Обчисліть:

549. а) 99 × 101; б) 198 × 202; в) 53 × 47; г) 85 × 95;

д) 10,2 × 9,8; е) 7,7 × 8,3; є) 1,02 × 0,98; ж) 4,95 × 5,05.

550. а) 49 × 51; б) 73 × 67; в) 20,5 × 19,5;

г) 9,6 × 10,4; д) 5,03 × 4,97; е) 1,96 × 2,04.

Рівень Б

Спростіть вираз:

551. а) (a + 1)(a - 1) + (2 - а)(2 + a);

б) (b + 3)(b - 3) -(b - 2)(b + 2);

в) (5 x - 2 x ²)(5 x + 2 x ²) - 25 x ²;

г) c ⁴- (c ²+ 8 c ⁴)(c ² - 8 c ⁴);

д) (3 ab - 4 c ²)(3 ab + 4 c ²) + (2 c)⁴;

е) (- a + 2 b)(a + 2 b) - (2 b + 3 a)(2 b - 3 a);

є) (4 - 3 b ²)(4 + 3 b ²) - (2 - 3 b)(8 + 3 b ³).

552. а) (x + 3)(x - 3) -(x - 4)(x + 4); б) (5 - 2 с)(5 + 2 с) - 2 с (1 - 2 с);

в) а ²(а ²+ 7)(а ² - 7) + 49 а ²; г) (- xy - 2 z ²)(- xy + 2 z ²) - (xy)²;

д) (a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a).

553. а) б)

в) г)

554. а) б)

555. а) (b + 1)(b - 1)(b ² + 1); б) (2 x - 1)(2 x + 1)(4 x ² + 1);

в) (2 - y)(2 + y)(4 + y ²); г) (4 + 3 n)(-4 + 3 n)(16 + 9 n ²);

д) (y - 2 z)(y + 2 z)(y ² + 4 z ²); е) (a - 1)(a + 1)(a ² + 1)(a ⁴ + 1).

556. а) (3 - c)(3 + c)(9 + c ²); б) (z + 5)(z - 5)(z ² + 25);

в) (4 x - y)(4 x + y)(16 x ² + y ²); г) (2 + 3 k ²)(-2 + 3 k ²)(9 k ⁴ + 4).

557. Доведіть, що для кожного цілого значення n значення виразу(8 n + 5)(8 n - 5) - (7 n - 5)(7 n + 5) ділиться на 15.

558. Доведіть, що значення виразу(4 х + 3)(4 х - 3) - (4 х - 5)(4 х + 5) не залежать від значень x.

Розв’яжіть рівняння:

559. а) (y - 3)(y + 3) + y (2- y) = 1; б) (2 x - 0,5)(2 x + 0,5) = x (4 x - 0,5);

в) х ² +(-4 - х)(-4 + х) = 8(х + 1); г) (- z ² + 1)(z ² + 1) = 1 - z (1 + z ³).

560. а) 2 x (1- 8 x) + (4 x - 1)(4 x + 1) = 0; б) (2 - 3 y)(2 + 3 y) = (9 y - 2)(2 - y).

Рівень В

561. Спростіть вираз:

а) (a + b - c)(a - b) + (b + c - а)(b - c) + (c + a - b)(c - a);

б) (a - b)(a + b)(a ² + b ²)(a ⁴ + b ⁴)(a ⁸ + b ⁸)(a ¹⁶ + b ¹⁶).

562. Доведіть тотожність

(a + b)(a ² + b ²)(a ⁴ + b ⁴)(a ⁸ + b ⁸) = a ¹⁶ - b ¹⁶,

якщо a - b = 1.

563. Доведіть, що (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) = 2³² - 1.

564. Розв’яжіть рівняння (x - 1)(x + 1)(x ² + 1)(x ⁴ + 1) = x ⁸ + x.

565. Дано квадрат і прямокутник. Довжина прямокутника на 2 см більша, а ширина — на 2 см менша, ніж сторона квадрата. Що більше — площа квадрата чи площа прямокутника?