Вправи для повторення. 492.Периметр трикутника дорівнює 27 см

492. Периметр трикутника дорівнює 27 см. Знайдіть довжини сторін трикут­ника, якщо перша його сторона в 1,2 разу довша від другої, а друга ¾ на 5 см довша від третьої.

493. Автомобіль мав проїхати деякий шлях, рухаючись зі швидкістю 70 км/год. Якби він їхав зі швидкістю на 5 км/год більшою, то здолав би цей шлях на 20 хв швидше. Який шлях мав проїхати автомобіль?

494. Перемножте многочлени:

а) (5 a – 7 b)(4 – b); б) (x ² – y)(7 x – y ³);

в) (y + 3)(y ² – y + 4); г) (a ² – 5 a + 3)(a – 7).

495. Візьміть у дужки два останні доданки, поставивши перед дужками знак «+»; знак «–»:

a) 2+ с + d; б) а + b - 4 в) x - у - 3; г) 2 m - 3 n + k.

496. Обчисліть:

а) 2,3 × 2,8 + 0,33 × 10,78 + 2,3 × 7,2 - 0,33 × 0,78;

б) 7,7 × 1,6 - 0,03 × 500 + 1,8 × 1,6 + 1,6 × 0,5;

в)

15. Розкладання многочленів на множники
способом групування

Вивчення цього способу розкладання многочленів на множники почнемо із прикладу на множення многочленів. Виконаємо множення двочлена a - b на двочлен x + y таким чином:

(a - b)(x + y) = a (x + y) - b (x + y) = ax + ay - bx - by.

Проводячи перетворення у зворотному порядку, многочлен ax + ay - bx - by можна розкласти на два множники a - b і x + y:

ax + ay - bx - by = (ax + ау) + (- bx - by) = a (x + y) - b (x + y)= (x + y)(a - b).

Проаналізуємо останні перетворення. Маємо многочлен, члени якого можна групувати так, щоб кожна група мала спільний множник (група ax + ay ¾ спільний множник а, його виносимо за дужки; група - bx - by ¾ спільний множник - b, його також виносимо за дужки). В утвореній різниці a (x + y) - b (x + y) маємо спільний множник x + y, виносимо його за дужки й
одержуємо (x + y)(a - b).

Описаний спосіб розкладання многочленів на множники називають способом групування. Застосовуючи цей спосіб, треба утворювати групи членів, що мають спільний множник. Після винесення в кожній групі множників за дужки повинен утворитися спільний множник для всіх груп, який знову ж таки треба винести за дужки.

Многочлен ax + аy - bx - by можна розкласти на множники, групуючи його члени по-іншому:

ax + ay - bx - by = (ax - bx) + (ay - by)= x (a - b) + y (a - b) = (a - b)(x + y).

Порівняйте

(а – b)(x + y) = аx + аy – bx – by	—	помножили многочлен на многочлен; результат — многочлен
аx + аy – bx – by = (а – b)(x + y)	—	розклали многочлен на множники; результат — добуток многочленів

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен

3 ах - 12 bх + 9 а - 4 bх ².

● 3 ах - 12 bх + 9 а - 4 bх ² = (3 ах + 9 а) - (4 bх ² + 12 bх) =

= 3 а (х + 3) - 4 bх (х + 3) = (х + 3)(3 а - 4 bх). ●

Приклад 2. Розкласти на множники тричлен х ² - 5 x + 6.

● Подамо другий член -5 x у вигляді -3 x - 2 x. Тоді:

х ² - 5 x + 6 = х ² - 3 x - 2 x + 6 = х (x - 3) - 2(x - 3) = (х - 3)(x - 2). ●

Усно

497. Вкажіть у кожному многочлені групи членів, які мають спільний множник, та назвіть цей множник:

a) ax + аy + 5 x + 5 y; б) 2 a - 2 b + an - bn.

Рівень А

Розкладіть на множники:

498. a) ax + ay + 4 x + 4 y; б) 7 х + by + 7 y + bx;

в) 6 m - 6 n + am - an; г) 6 m - 6 n - am + an;

д) ma - na + mb - nb; е) 5 a - bх - 5 b + aх;

є) a + 2 nb - b - 2 na; ж) 4 ay + 3 - 3 y - 4 a.

499. a) 2 a + 2 b + xa + xb; б) ma - mb + 3 a - 3 b;

в) ka - kb - 5 a + 5 b; г) 6 c - ac - ab + 6 b ;

д) x + y - bx - by; е) 7 am - 7 m + 5 ax - 5 х.

500. а) a ³ + a ² + a + 1; б) x ³ – 4 x ² + 2 x – 8;

в) b ² - ab - 2 b + 2 a; г) 10 x + xy + 10 y + x ²;

д) 3 a - ax + 3 x - x ²; е) xya - xy + 5 a - 5.

501. а) x ³ + 2 x ² + x + 2; б) a ⁶ + 5 a ⁴ + 5 a ²+ 25;

в) a ² + 2 ab + 3 a + 6 b; г) x ² + 3 xa - 2 x - 6 a.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

502. а) a ² + b ² - a ³ y - ab ² y; б) b ² n + y ² - bny - by;

в) 3 а ² c + 6 а ² - 10 bc - 5 bc ²; г) 12 x ² + 18 y + 10 x ³ + 15 xy;

д) 0,9 ay + 1,2 y ² - 1,2 ax - 1,6 xy; е) x ² yz - x + xy ² z ² - yz.

503. а) x ² y ² + 2 y ³ - ax ² - 2 ay; б) 2 a ² b + 2 c - 4 abc - a;

в) 6 x ³ y + 12 y ² z ² + 9 y ³ + 8 x ³ z ²; г) 0,2 mn ³ - 1,5 m ² + 0,6 m ³ n - 0,5 n ².

504. а) хa - хb + хc + 3 a - 3 b + 3 c; б) ax ² - ay ² + 4 az - 4 bx ² + 4 by ² -16 bz;

в) -5 a - 5 b + 3 na + 3 nb - ma - mb; г) bn ² + cn ² - bp + bp ² - cp + cp ².

505. а) a ² b + a + ab ² + b + 2 ab + 2; б) сa - cb + c + ad - bd + d;

в) 2 a ³ +2 a ² b + 2 ab + 2 b ² - a - b.

Знайдіть значення виразу:

506. а) p ³ + pq ² - p ² q - q ³, якщо p = 1,5, q = 0,5;

б) 2 a ³ - 6 ab + a ² b - 3 b ², якщо a = 8, b = 21;

в) 4 x ³ + 4 x ² y - 4 x ² + 3 y ³ + 3 xy ² - 3 y ², якщо x = y = .

507. а) 2 a ² + ac - 2 ac ² - c ³, якщо a = 17, c = 4;

б) m ³ + m ² n - 10 m + n ³ + n ² m - 10 n, якщо m = n =

Рівень В

508. Розкладіть на множники: a ³ - a ²+ b ³ - b ²+ a ² b + b ² a.

509. Дано многочлен x ³ - х ² + 3 x - 3. Доведіть, що для x > 1 він набуває лише додатних значень.

510. Для яких значень х значення многочленна
3 x ³ - 9 х ² + 4 x - 12 додатні; від’ємні?

511. Розв’яжіть рівняння: (x ²- х)(6 + 5 x + x ²) = x ³(х + 4) - 5.

512. Розкладіть на множники тричлен:

а) a ² - 7 a + 10; б) x ²+ 5 x + 4;

в) x ² + 3 xy + 2 y ²; г) а ² - 7 аb + 12 b ².

Розв’яжіть рівняння:

513. а) x ²- 3 x + 2 = 0; б) х ² + 8 х + 15 = 0.

514. а) (x - 2)² + 6(x - 2) + 8 = 0; б) (x ² - 5 x)² + 10(x ² - 5 x) + 24 = 0.