![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода. За 2 год пішохід долає відстань, що на 2,5 км менша від відстані, яку долає велосипедист за 1 год. Знайдіть швидкість пішохода.
567. Вкладник вніс до банку 4000 грн. За перший рік йому нарахували 8% річних, а потім банківський відсоток збільшився. У кінці другого року на рахунку вкладника було 4752 грн. Скільки відсотків річних став давати банк після збільшення ставки?
568*. Сплав міді й цинку, загальна маса якого дорівнює 3,6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 60% міді?
569. Замініть степінь добутком і запишіть одержаний добуток у вигляді многочлена:
а) (a + 1)2; б) (2 b - 1)2; в) (5 - 2 x)2.
570. Запишіть у вигляді виразу:
а) суму квадратів змінних х і у; б) квадрат суми змінних х і у;
в) різницю квадратів змінних а і с; г) квадрат різниці змінних а і с.
17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
1. Квадрат суми двох виразів. Піднесемо до квадрата суму a + b:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + аb + ab + b 2= a 2 + 2 ab + b 2.
Отже,
(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2.
Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Вона є
формулою скороченого множення, бо дозволяє підносити до квадрата суму довільних двох виразів не за правилом множення двох многочленів, а скорочено: відразу записувати квадрат у вигляді тричлена a 2 + 2 ab + b 2. Формулюють формулу квадрата суми так:
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. |
Піднесемо до квадрата суму 2 x + 3 y:
(2 x + 3 y)2 = (2 х)2 + 2 × 2 x × 3 y + (3 y)2 = 4 х 2 + 12 xy + 9 y 2.
При піднесенні суми 2 x + 3 y до квадрата проміжні перетворення можна виконувати усно:
(2 x + 3 y)2 = 4 х 2 + 12 xy + 9 y 2.
2. Квадрат різниці двох виразів. Піднесемо до квадрата різницю a - b:
(a - b)2 = (a + (- b))2 = a 2 + 2 а (- b) + (- b)2= a 2 - 2 ab + b 2.
Отже, маємо таку формулу квадрата різниці:
(a - b)2 = a 2 - 2 ab + b 2.
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу. |
Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів ще називають квадратом двочлена.
Квадрати протилежних чисел дорівнюють один одному: (- а)2 = a 2. Тому при піднесенні до квадрата виразів - a - b та - a + b можна користуватися формулами:
(- a - b)2 = (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2;
(- a + b)2 = (a - b)2 = a 2 - 2 ab + b 2.
Для тих, хто хоче знати більше
Щоб піднести суму або різницю двох виразів до куба, можна використовувати формули куба суми або куба різниці:
(a + b)3 = a 3 + 3 а 2 b + 3 ab 2 + b 3;
(a - b)3 = a 3 - 3 а 2 b + 3 ab 2 - b 3.
Виведемо ці формули.
1. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a 2 + 2 аb + b 2)=
= a 3 + 2 а 2 b + ab 2 + a 2 b + 2 ab 2 + b 3 = a 3 + 3 а 2 b + 3 ab 2 + b 3.
2. (a - b)3 = (a + (- b))3 = a 3 + 3 а 2(- b) + 3 a (- b)2 + (- b)3 = a 3 - 3 а 2 b + 3 ab 2 - b 3.
Формулюють формулу куба суми так:
Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу. |
Формулу куба різниці формулюють аналогічно.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Піднести до квадрата вираз:
а) хy - 2 z 2; б) -3 m - n; в) - х + 5 у; г) a + b - c.
● а) (хy - 2 z 2)2 = (хy)2- 2· хy ·2 z 2 + (2 z 2)2 = х 2 y 2- 4 хyz 2 + 4 z 4;
б) (-3 m - n)2 = (–(3 m + n))2 = (3 m + n)2 = 9 m 2 + 6 mn + n 2;
в) (- х + 5 у)2 = (х - 5 у)2 = х 2 - 10 ху + 25 у 2;
г) (a + b - c)2 = ((a + b)- c)2 = (a + b)2- 2(a + b) c + c 2 =
= a 2 + 2 ab + b 2 - 2 ac - 2 bc + c 2. ●
Усно
571. Піднесіть до квадрата двочлен:
a) x + y; б) x - y; в) a + 1; г) a - 1.
Рівень А
Піднесіть до квадрата:
572. а) (k + n)2; б) (b + 2)2; в) (с - 4)2;
г) (3 + a)2; д) (5 - b)2; е) (a + 15)2;
є) (x - 0,5)2; ж) (1,2 - c)2; з) (n + 2,5)2.
573. а) (b - c)2; б) (x + 4)2; в) (а - 2)2;
г) (3 - n)2; д) (0,3 + z)2; е) (1,5 - b)2.
574. а) (2 a + 1)2; б) (2 с - 5)2; в) (3 - 4 a)2;
г) (4 c - 0,5)2; д) (2 b - 0,5 c)2; е) (5 х - 0,2)2.
575. а) (3 b - 1)2; б) (5 z + 2)2; в) (6 а + b)2;
г) (4 x - 5 y)2; д) (0,3 a + 10 b)2; е) (8 b - 0,5)2.
Спростіть вираз:
576. а) (a + 1)2 + (a - 1)2; б) (b + 2)2 -4(b + 1);
в) (5 - 2 x)2 - 25 - 4 x 2; г) x 2- 1 - (x - 1)2.
577. а) (4 - b)2 + 8 b - b 2; б) (x + 2)2 + (x - 2)2.
Розв’яжіть рівняння:
578. а) (х + 2)2- х 2 = 8; б) (x - 3)2 - x 2 = 21.
579. а) (x - 1)2- x 2 = 11; б) (x + 4)2 - x 2 = 24.
Рівень Б
Піднесіть до квадрата:
580. а) (- b + c)2; б) (- x - y)2; в) (-2 а + 3)2;
г) (-4 x + 5 y)2; д) (-2 m - 10 n)2; е) (-2,5 а + 4)2.
581. а) (- m - n)2; б) (- b + 5)2; в) (-3 x + y)2;
г) (-4 c - 3 d)2; д) (- k - 1,5)2; е) (-0,5 z + 2)2.
Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:
582. а) (y 2 + 1)2; б) (2- х 3)2; в) (2 m - m 2)2;
г) (-4 a 2 + a)2; д) (4 a 2 - аc)2; е) (-4 a 2 - 3 b)2.
є) (- m 2 - 0,5 nk)2; ж) з)
583. а) (a 2 + 2)2; б) (2 b 3 - 4)2; в) (-2 x - x 2)2;
г) (-2 a 2 + 5 аb)2; д) е)
Піднесіть до квадрата:
584. а) (а - b + 1)2; б) (3 с - 2 а + 3)2; в) (3 - x - 2 х 2)2.
585. а) (2 - x + y)2; б) (-2 m + 1 - 3 n)2; в) (а 2 + 5 а + 4)2.
Доведіть тотожність:
586. а) (a + b)2 - (a - b)2 = 4 ab;
б) (2 xy)2 + (x 2 - y 2)2 = (x 2 + y 2)2;
в) (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc.
587. а) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a 2 + b 2);
б) (a - b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2 ab + 2 ac - 2 bc.
Спростіть вираз:
588. а) (2 a - 1)2 - (2 a + 1)2; б) (x 2 + 1)2 - x 2(x 2 + 2);
в) (2 n - 1)2 + (2 n)2+ (2 n + 1)2; г) (a + b - 4)2 + 8(a + b - 2).
589. а) (- a + 2 b)2 + (a + 2 b)2; б) (x 2 - 3)2 +(3 x - 1)(2 x + 9);
в) (а - b + 1)2 - 2(1 - b)(1 + а).
Розв’яжіть рівняння:
590. а) (5 х + 4)2= (1 - 5 х)2; б) (3 x - 5)(3 x + 5) = 7 + (3 x - 4)2;
в) (2 y + 3)2- (4 у - 2)(у - 6) = 16; г) (3 x - 1)2 + (4 x - 1)2 = (5 x - 1)2.
591. а) (2 x - 3)2- 3 = (2 x + 1)2 - 11; б) 16 y 2 - (4 у - 3)2 = 15 y - 90;
в) 3(x - 1)2 - (2 - x)(2 + x) = (2 x - 1)2.
Рівень В
592. Піднесіть до куба:
а) (а + 1)3; б) (2 х - у)3; в) (3 m + 4 n)3.
593. Спростіть вираз:(a 10 - b 10)2(a 10 + b 10)2 - (a 20 + b 20)2.
594. Доведіть, що для кожного натурального значення n значення виразу (5 n + 2)2 - 2(5 n + 2)(5 n - 2) + (5 n - 2)2 ділиться на 16.
595. Доведіть, що вираз (x 2+ ху + y 2)2 - (x + у)4 + 2 ху (x + у)2 набуває лише невід’ємних значень.
596. Ціле число при діленні на 7 дає в остачі 3. Яку остачу при діленні на 7 дає квадрат цього числа?
597. Ціле число m не ділиться на 5. Доведіть, що число m 4 - 1 ділиться на 5.
598. Число а є квадратом деякого натурального числа. Чи може запис числа а закінчуватися двома шістками?
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 729 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!