Вправи для повторення. 599.Одне число становить 0,8 іншого числа і менше від нього на 12

599. Одне число становить 0,8 іншого числа і менше від нього на 12. Знайдіть ці числа.

600. Одне із чисел на 80% більше від іншого. Якщо від більшого числа відняти 3,4, а до меншого додати 2,2, то одержимо однакові результати. Знайдіть ці числа.

601. Робітник і його учень виготовили 81 деталь, до того ж, робітник виготовив на 70% деталей більше, ніж учень. Скільки деталей виготовив робітник і скільки учень?

602. Подайте у вигляді квадратів числа: 81; 441; 625; 3,24; 0,09; 0,36;

603. Подайте вираз у вигляді квадрата одночлена стандартного вигляду:

а) 16 х ²; б) 196 с ⁴; в) 0,25 b ² с ²; г) x ⁴ y ⁶ z ².

604. Розкладіть на множники:

а) (2 x – 3 y)(2 x + 3 y) + 9 y ² + 4 х; б) а ⁶ + 2 a ⁴ + 2 a ² + 4.

18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

У тотожності (a - b)(a + b) = a ² - b ² поміняємо місцями ліву і праву частини:

a ² - b ² = (a - b)(a + b).

Одержану тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Формулюють її так:

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

Формула різниці квадратів дає можливість розкласти на множники двочлен a ² - b ². Її використовують для розкладання на множники різниці квадратів двох довільних виразів. Наприклад:

4 х ² - 9 = (2 х)² - 3² = (2 x - 3)(2 x + 3).

Порівняйте

(а – b)(a + b) = а 2 – b 2	—	помножили різницю двох виразів на їх суму; результат — многочлен (різниця квадратів двох виразів)
а 2 – b 2 = (а – b)(a + b)	—	розклали на множники різницю квадратів двох виразів; результат — добуток різниці виразів та їх суми

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) 16 х ⁴ - 2,25 у ² z ²;
б) (4 a - b)² - a ².

● а) 16 х ⁴ - 2,25 у ² z ² = (4 х ²)² - (1,5 уz)² = (4 х ² - 1,5 уz)(4 х ² + 1,5 уz);

б) (4 a - b)² - a ² = (4 a - b - a)(4 a - b + a) =(3 a - b)(5 a - b). ●

Приклад 2. Обчислити 75² - 65².

● 75² - 65²= (75- 65)(75 + 65)= 10 × 140 = 1400. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння (х - 3)²- 36= 0.

● (х - 3)²- 36= 0; (х - 3)²- 6²= 0; (х - 3- 6)(х - 3 + 6)= 0;

(х - 9)(х + 3) = 0; х - 9 = 0 або х + 3 = 0; х = 9 або х = -3.

Відповідь. 9; -3. ●

Усно

605. Розкладіть на множники:

a) x ² - y ²; б) p ² - 4; в) 16 - c ².

Рівень А

Розкладіть на множники:

606. a) a ² - 9; б) b ² - 1; в) 1 – x ²;

г) 16 - y ²; д) 4 z ² – 36; е) 49 a ² - 9 b ²;

є) 100 x ² - 121 y ²; ж) 9 - a ² b ².

607. a) b ² - 25; б) 9 c ² - 1; в) 25 - 64 y ²;

г) 36 m ² - 49 n ²; д) 400 - z ²; е) 81 p ² - 121 q ².

Обчисліть:

608. a) 45² - 44²; б) 81² - 71²; в) 138² - 38²; г) 6,7² - 3,3².

609. а) 29² - 28²; б) 205² - 105²; в) 78² - 22²; г) 9,5² - 8,5².

Знайдіть значення виразу:

610. x ² - y ², якщо x = 42 і y = 32; x = 2,8 і y = 7,2; x = 54 і y = -46.

611. m ² - n ², якщо m = 116 і n = 16; m = 5,7 і n = -4,7.

Розв’яжіть рівняння:

612. а) x ²- 4 = 0; б) 25 x ² - 16 = 0.

613. а) y ² - 36 = 0; б) 100 x ² - 49 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

614. а) а ⁴ - b ²; б) 25 m ² - 64 n ⁸; в) 36 - 4 а ⁶ с ²;

г) 0,01 - 6,25 х ⁸ у ¹⁰; д) a ² - 16 x ⁴ y ⁸; е) - 0,81 a ⁴ b ⁸ c ¹².

615. а) 4 a ⁸ - 25 b ² c ²; б) 1,96 m ²⁰ - 0,09 n ²; в) a ⁸ b ⁴ c ² - х ⁶.

616. а) (a + 2)² - 1; б) (3 b - 1)² - 4; в) 16 - (3 b + 2)²;

г) (2 a - 5)² - 25 b ²; д) (4 x + 3)² - (3 x + 2)²; е) (a - 3 b)² - (3 a + 5 b)².

617. а) (2 х - 1)² - 9; б) 4 a ² - (4 a + 3)²; в) (4 х - y)² - (5 x - 2 y)².

Знайдіть значення виразу:

618. а ² - 4 b ², якщо a = 3,28 і b = 3,36; a = і b = .

619.9 p ² - q ², якщо p = 2,3 і q = -1,9; p = і q = .

Розв’яжіть рівняння:

620. а) (x + 3)² - 1 = 0; б) (5 y - 2)² - 9 = 0;

в) (3 z + 5)² - 4 z ² = 0; г) (2 x - 3)² - (3 x + 3)² = 0.

621. а) (2 x - 5)² - 1 = 0; б) (4 y - 7)² - (y + 2)² = 0.

622. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 4575² - 1425² на 1000; б) 843² - 257² на 200.

Рівень В

623. Візьмемо два числа a і b, що дорівнюють одне одному: a = b. Обидві частини рівності помножимо на a і потім віднімемо від обох частин b ². Отримаємо:

a ² = ab; a ² – b ² = ab – b ²; (a + b)(a – b) = b (a – b).

Звідси a + b = b. З одержаної рівності, врахувавши, що a = b, матимемо:

b + b = b; 2 b = b; .

Отже, отримали, що будь-яке число дорівнює своїй половині.

Знайдіть помилку в проведених міркуваннях.

624. Доведіть, що для будь-якого цілого значення k значення виразу (4 k + 2)² - (4 k - 2)² ділиться на 32.

625. Розкладіть на множники:

а) a ⁸ - b ⁸; б) 1 - х ¹⁶.

626. Розв’яжіть рівняння:

а) x ⁴- 16 = 0; б) x ⁸ – 1 = 0;

в) (х ² + 4 х - 7)² - (х ² + 4 х + 7)² = 0.

627. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 3, а інше ¾ 2, кратна 5.