Вправи для повторення. 456.За 2 ручки і 8 зошитів Олег заплатив 4 грн

456. За 2 ручки і 8 зошитів Олег заплатив 4 грн. 20 коп. Скільки коштує ручка, якщо вона на 10 к. дорожча від зошита?

457. Моторний човен проплив 72 км, рухаючись 3 год проти течії річки і 2 год — за течією. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 15 км/год.

458. Від пристані А до пристані В катер плив на 20 хв довше, ніж від В до А. Знайдіть відстань між пристанями, якщо швидкість катера у стоячій воді дорівнює 19,2 км/год, а швидкість течії річки — 2,4 км/год.

459. Розв’яжіть рівняння:

a) |3 x – 6| = 9; б) 2| x | – 3 = | x |;

в) | x - 4| = 3(4 – | x – 4|); г) | x |(| x | – 1) = 2 + | x |².

460. Обчисліть:

а) 37 · 48 + 37 · 52; б) 9,3 · 5,6 – 9,3 · 5,5; в) 1,6 · 8,8 – 3,8 · 1,6.

461. Запишіть одночлен 24 a ³ b ⁴ у вигляді добутку двох одночленів, одним із яких є:

а) 3 a ² b ²; б) 8 b ³; в) -4 ab ⁴; г) -12 a ³.

14.Розкладання многочленів на множники
способом винесення спільного множника за дужки

1. У шостому класі ми розкладали на множники числа. Наприклад, число 60 можна записати у вигляді добутку двох чисел 12 і 5:

60 = 12 × 5.

Кажуть, що число 60 розкладено на два множники 12 і 5.

Розкладати на множники можна і многочлени. Наприклад,

аb + аc = а (b + c).

Записавши многочлен аb + ac у вигляді добутку а (b + c), кажуть, що многочлен ab + аc розкладено на два множники а і b + c. Кожний із цих множників є многочленом (перший многочлен складається лише з одного члена).

Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток
кількох многочленів.

Порівняйте

а (b + c) = аb + аc	—	помножили одночлен на многочлен; результат — многочлен
аb + аc = а (b + c)	—	розклали многочлен на множники; результат — добуток одночлена і многочлена

2. Розглянемо один зі способів розкладання многочленів на множники.

Виконаємо множення одночлена на многочлен:

x (x + y) = x × x + x × y = x ²+ xy.

Перепишемо ці рівності у зворотному порядку:

x ²+ xy = x × x + x × y = x (x + y).

Многочлен x ²+ xy розклали на два множники x та x + y. Щоб розкласти многочлен x ²+ xy на множники, досить у його членах x ²та xy виділити спільний множник x: x ²+ xy = x × x + x × y, а потім на основі розподільної властивості множення записати одержаний вираз у вигляді добутку многочленів x та x + y.

Описаний спосіб розкладання многочленів на множники називають способом винесення спільного множника за дужки.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен 12 х ³ y - 18 x ² y ².

● Спочатку знайдемо спільний числовий множник для коефіцієнтів 12 і -18. Якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за
спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку це число 6. Степені з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить x ³= x ² × х, а другий ¾ x ², то спільним множником для степенів з основою х є x ² (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена відповідно входять множники у і у ², за дужки можна винести y. Отже, за дужки можна винести одночлен 6 x ² y:

12 х ³ y - 18 x ² y ² =6 х ² y × 2 х - 6 х ² y × 3 y =6 х ² y (2 х - 3 y). ●

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен -2 a ² b - 8 a ² b ² + 10 ab ².

● -2 a ² b - 8 a ² b ² + 10 ab ² =-2 ab (a + 4 аb - 5 b). ●

Приклад 3. Розкласти на множники: 5 b (a - c) + 3(a - c).

● Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз a - c. Винесемо цей множник за дужки:

5 b (a - c) + 3(a - c) = (a - c)(5 b + 3). ●

Приклад 4. Розкласти на множники: 2 x (m - n) + y (n - m).

● Доданки мають множники m - n і n - m, які відрізняються тільки знаками. У виразі n - m винесемо за дужки -1, тоді другий доданок матиме вигляд - y (m - n) й обидва доданки матимуть спільний множник m - n.

Отже,

2 x (m - n) + y (n - m) = 2 x (m - n) - y (m - n) = (m - n)(2 x - y). ●

Приклад 5. Знайти значення виразу 8,5 а ²+ а ³, якщо а = 1,5.

● Розкладемо спочатку многочлен 8,5 а ²+ а ³ на множники:

8,5 а ²+ а ³= а ²(8,5 + а).

Якщо а = 1,5, то:

а ²(8,5 + а) = 1,5² × (8,5 + 1,5) = 2,25 × 10 = 22,5. ●

Приклад 6. Розв’язати рівняння 4 х ²+ 5 х = 0.

● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х (4 х + 5) = 0.

Добуток х (4 х + 5) дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

х = 0 або 4 х + 5 = 0, звідки х = 0 або х = -1,25.

Відповідь. 0; -1,25. ●

Усно

462. Знайдіть спільний множник членів многочлена:

a) 8 + 4 b; б) 15 х - 10; в) 3 а + 3 ab;

г) а ² - 2 а; д) mn - n ² + n; е) 18 a ⁴ b ³- 6 a ² b ².

463. Чи правильно розкладено на множники многочлен:

а) 6 a + 6 = 6(a + 0); б) 6 a + 6 = 6(a + 6); в) 6 a + 6 = 6(a + 1);

г) 4 xy - 2 y = y (4 х - 2); д) 4 xy - 2 y = - y (-4 х + 2); е) 4 xy - 2 y = 2 y (2 х - 1)?

Рівень А

Винесіть за дужки спільний множник:

464. а) 3 a + 3 b; б) 3 a + 6; в) 9 a - 18 b;

г) -6 a + 6 b; д) 3 y ² + 3 y - 6; е) -15 с - 10.

465. а) 5 a + 5; б) 5 a + 15 b; в) 15 x - 25 y;

г) 2 x - 4 y + 8 z; д) -7 k + 7 m; е) -4 m - 2 n.

Розкладіть на множники і зробіть перевірку:

466. а) 4 а + 12; б) 5 аb + 10 а; в) 4 аb - 2 b.

467. а) 2 b - 8 a; б) 6 xy + 24 x; в) 9 mn - 6 m.

Розкладіть на множники:

468. а) ax + bx; б) ym - yn; в) - ca + cb; г) - xz - yz.

469. а) km + kn; б) - xa + ya; в) - bx - ax; г) ta - tb.

470. а) 9 ах - 9 bx; б) 3 ay - 6 y; в) -7 аb + 14 b;

г) 10 x ² - 15 х ³; д) 32 b ²- 24 b ⁴; е) -8 c ³ - 10 c ⁵.

471. а) 5 хy - 5 y; б) 8 ac - 6 ab; в) c ² + c ⁵;

г) 3 x ²+ 9 x; д) 15 y ²- 12 y ⁴; е) -24 n - 18 n ³.

472. a) а ³+ 3 а ² - 10 a; б) 4 x ⁵ - 8 x ³ + 4 x ²; в) -9 a ⁵ - 27 a ³+ 18 a ⁴.

473. a) 2 x ⁴- x ³ - x ²; б) 2 c - 4 c ² + 8 c ³; в) -5 b ⁴ + 10 b ² + 5 b ⁵.

Знайдіть значення многочлена:

474. а) х ³ - 1,5 x ², якщо x = 2,5; б) xy + y ², якщо x = -0,3; y = 10,3.

475. а) 2,4 a ² - a ³, якщо a = 1,4; б) m ² + mn, якщо m = 2,8; n = 7,2.

Розв’яжіть рівняння:

476. а) х ²- 5 х = 0; б) 5 х ²+ 15 х = 0.

477. а) х ²+ 2 х = 0; б) 4 х - 2 х ²= 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

478. а) a ² b ³ + ab ⁴ - a ² b ⁴; б) 36 x ⁴ y ³ - 48 x ⁶ y ⁴;

в) 24 a ² b ³ - 16 a ³ b ³- 40 a ³ b ²; г) -3 m ⁴ n ⁶ +1,2 m ⁵ n ⁵ - 4,2 m ⁵ n ⁶;

д) х ³ y ⁴ z ²- х ² y ³ z ³+ х ³ y ³ z ⁴; е) abc ² + ab ² c - a ² bc.

479. а) 2 x ⁴ z ³ + 4 x ⁴ z ⁴ - 4 x ⁴ z ⁵; б) 45 a ⁴ b ² - 60 a ³ b ³+ 75 a ² b ⁴;

в) -3,6 m ² n ⁵ + 5,4 m ³ n ⁴ - 9 m ² n ⁴; г) х ⁵ y ³ z ⁴- х ³ y ⁵ z ⁴+ х ³ y ³ z ⁵.

480. а) a (m + k) - b (m + k); б) 2 a (x - y) + 3(x - y);

в) x (a - 2 b + 1) + y (a - 2 b + 1); г) m (a - b) + 3(b - a);

д) a ²(n - 3) - 5(3 - n); е) (x - 2)² + 4(x - 2);

є) 2 x (a - b) - (a - b)²; ж) 4 x (a + b) + 2 х (a + b)².

481. а) m (x - k) - n (x - k); б) c (a + b + 2) + 3(a + b + 2);

в) a (s - t) + b (t - s); г) 2(a - b) - x (b - a);

д) (m - 4)² - 5(m - 4); е) x (m - n) + 2(m - n)².

Знайдіть значення многочлена:

482. а) xy ² - y ², якщо x = 3; y = 0,5;

б) а ² + ab - а, якщо а = b =

483. а) m ² n + m ², якщо m = -0,5; n = 88;

б) ху - у ² + у, якщо х = у =

Розв’яжіть рівняння:

484. а) 4 y + 0,2 y ²= 0; б) 0,6 х ²- 0,24 х = 0; в) х ²- х = 0.

485. а) 0,4 х - 2 х ²= 0; б) 1,5 х ²+ 0,3 х = 0; в) х - х ²= 0.

Доведіть, що значення виразу:

486. а) 19⁸ - 19⁷ ділиться на 18; б) 49⁹ + 49¹⁰ ділиться на 50;

в) 3 × 7⁶ - 7⁵ ділиться на 20; г) 3¹⁰ + 2 × 3¹² + 3¹¹ ділиться на 22.

487. а) 11⁹ + 11⁸ ділиться на 12; б) 5¹² - 2 × 5¹⁰ ділиться на 23.

Рівень В

488. Винесіть за дужки спільний множник:

а) aⁿ + a^{n + 2}; б) 2 ^{n + m} + 2 ⁿ; в) 4 a ^{2 n} - 4 aⁿ;

г) a ^{2 n} bⁿ + aⁿb ^{2 n} ; д) хⁿ + 2 х^{n + 2} + 3 х^{n + 3}; е) х ^{2 m} + 2 х^m + х^{m + 2}.

489. Доведіть, що значення виразу:

а) 15 × 16⁷ - 4¹⁴ ділиться на 14; б) 3 × 2¹⁵ + 2¹² - 2¹⁴ ділиться на 21.

490. Доведіть, що коли:

а) a + b = 4, то a ³ b ² + a ² b ³ - 4 a ² b ² = 0;

б) a ²+ b ² = 3 ab, то a ⁴ b ² + a ³ b ³ + a ² b ⁴ = 4 a ³ b ³;

в) x + y + 2 = xy, то x ⁴ y ⁴ - x ³ y ⁴ - x ⁴ y ³ = 2 x ³ y ³.

491. Номер автобусного квитка складається з шести цифр. Квиток вважають «щасливим», якщо в його номері сума перших трьох цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що:

а) якщо квиток з номером є «щасливим», то й квиток з номером — «щасливий»;

б) сума номерів «щасливих» квитків і ділиться на 1001;

в) сума номерів усіх можливих «щасливих» квитків ділиться на 1001.