Вправи для повторення. 649. Знайдіть значення виразу:

649. Знайдіть значення виразу:

а) (a ² bc ²)² × b ², якщо a = 4; b = -0,3; c = 0,25;

б) (5 а ³ b)² × аb ⁵, якщо а = 0,2; b = 5.

650. Для яких значень х значення виразу (2 х + 1)²- 4(х ² + 3 х) дорівнює: 1; -1?

651*. У першій чашці є кава, у другій — стільки ж молока. З першої чашки в другу перелили ложечку кави, потім таку ж ложечку суміші перелили з другої чашки в першу. Чого більше: молока у першій чашці чи кави в другій?

652. Запишіть у вигляді виразу:

а) куб суми чисел m і n; б) суму кубів чисел m і n;

в) куб різниці чисел а і с; г) різницю кубів чисел а і с.

653. Запишіть у вигляді куба вираз:

а) 8 x ³; б) -8 х ³; в) 64 а ⁹; г) -0,027 а ⁶ b ¹².

654. Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (х + 4)(х ² + 2 х - 3); б) (а - 2 b)(а ² - 2 аb + 2 b ²).

20. Різниця і сума кубів двох виразів

Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:

a ³ - b ³ = (a - b)(a ² + ab + b ²).

Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a ²+ ab + b ²:

(a - b)(a ²+ ab + b ²) = a ³ + а ² b + ab ² - a ² b - ab ² - b ³= a ³ - b ³.

У формулі різниці кубів тричлен a ²+ ab + b ² називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a ²+ 2 ab + b ², який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:

a ³ + b ³ = (a + b)(a ² - ab + b ²).

Доведемо цю тотожність:

(a + b)(a ²- ab + b ²) = a ³ - а ² b + ab ² + a ² b - ab ² + b ³= a ³ + b ³.

Тричлен a ²- ab + b ² називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) a ³ - 64; б) 27 a ³+ 125 b ³; в) - x ³- y ⁶.

● а) a ³ - 64 = a ³ - 4³ = (a - 4)(a ² + 4 a + 16);

б) 27 a ³+ 125 b ³ = (3 a)³ + (5 b)³ = (3 a + 5 b)(9 a ² - 15 ab + 25 b ²);

в) - x ³- y ⁶ = -(x ³ + (y ²)³) = -(x + y ²)(x ² - xy ² + y ⁴). ●

Усно

655. Назвіть неповний квадрат різниці виразів:

a) x і y; б) c і d; в) p і 1; г) 2 і c.

656. Назвіть неповний квадрат суми виразів:

a) m і n; б) p і q; в) a і 1; г) 3 і x.

557. Розкладіть на множники: a) x ³ - y ³; б) m ³ + n ³.

Рівень А

Розкладіть на множники:

658. a) p ³ - q ³; б) b ³ - 1; в) x ³ - 27; г) 64 - y ³;

д) b ³ + c ³; е) a ³ + 8; є) 1 + y ³; ж) 125 + b ³.

659. a) m ³ - n ³; б) b ³ - 8; в) 27 - a ³; г) 1 - z ³;

д) x ³ + y ³; е) k ³ + 64; є) p ³ + 1; ж) 27 + c ³.

660. a) 27 x ³ - 1; б) 1 + 64 b ³; в) 8 а ³ - 27; г) 125 - 27 y ³;

д) 64 m ³ - 27; е) b ³ + ; є) y ³ - 1; ж) x ³ + 1.

661. a) m ⁶ - n ³; б) a ⁹ + b ⁶; в) а ⁶ + c ⁶; г) x ¹² - y ⁹.

662. a) 8 z ³ + 1; б) 1 - 125 p ³; в) 27 x ³ + 64; г) 125 c ³ - 8;

д) a ³ - 1; е) 27 m ³ + ; є) y ³ - x ⁹; ж) p ⁶ + q ¹².

Рівень Б

663. Запишіть у вигляді добутку:

a) - a ³ + 8; б) - b ³ - c ³;

в) -27 + y ³; г) -64 - z ³.

Розкладіть на множники:

664. а) 64 a ³ - 27 b ³; б) p ³ - 8 q ³; в) 27 а ⁶ - 125;

г) 0,001 a ⁶ - b ³ c ³; д) 8 x ⁹ + 125 y ⁶; е) 1000 - a ³ b ⁹ c ¹².

665. а) 216 b ³ - 27 c ³; б) 125 m ³ + n ⁶; в) 0,064 x ⁹ y ⁶ z ³ - 27.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

666. а) 921³ - 821³ на 100; б) 57³ + 28³ на 85.

667. а) 27³ + 37³ на 64; б) 75³ - 46³ на 29.

Спростіть вираз:

668. а) (a - b)(a ²+ ab + b ²) + b ³; б) (x ² - 1)(x ⁴+ x ² + 1)+ 1;

в) (a ² + b ²)(a ⁴- a ² b ² + b ⁴)- а ⁶ - b ⁶;

г) (a + 2)(a ²- 2 a + 4)- (a - 2)(a ²+ 2 a + 4).

669. а) (x + 3)(x ²- 3 x + 9)- 27;

б) (b - 1)(b ²+ b + 1)+ (b + 1)(b ²- b + 1).

Розв’яжіть рівняння:

670. а) (x - 2)(x ²+ 2 x + 4) = x ³+ 4 x; б) (y ² - 3 y + 9)(y + 3) = 6 y + y ³.

671. а) (1 - x)(1+ x + x ²) = x - x ³; б) -8 z + z ³ = (z - 4)(z ² + 4 z + 16).

Рівень В

672. Доведіть тотожність:

а) (a + b)(a ² - ab + b ²+ 3 a - 3 b + 3) = (a + 1)³+ (b - 1)³;

б) a ⁴- b ⁴ = (a - b)(a ³ + a ² b + ab ² + b ³);

в) a ⁵- b ⁵ = (a - b)(a ⁴ + a ³ b + a ² b ² + ab ³ + b ⁴);

г) a ⁵+ b ⁵ = (a + b)(a ⁴ - a ³ b + a ² b ² - ab ³ + b ⁴).

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

673. а) 124⁵ - 74⁵ на 50; б) 87⁵ + 88⁵ на 175.

Вказівка. Використайте тотожності в) і г) задачі 670.

674. а) 6¹⁰ + 8¹⁰ на 100; б) 3¹⁵ - 2²⁰ на 11.

675. Сума і добуток двох чисел відповідно дорівнюють 3,5 і 3. Знайдіть суму кубів цих чисел.