Усиленный закон больших чисел

Теорема Бореля (1909 г.) (первая теорема на эту тему) утверждает, что относительная частота f_n º появления случайного события с ростом числа n независимых испытаний стремится к истинной вероятности p

(6)

с вероятностью 1. Другими словами, при любом эксперименте с бесконечным числом испытаний имеет место сходимость последовательности f_n к p.

Будем говорить, что последовательность случайных величин подчиняется усиленному закону больших чисел, если

при n® ¥ (7)

с вероятностью 1.

В частном случае, при равных математических ожиданиях, Mxi=a, это означает

при n® ¥ (8)

с вероятностью 1.

Достaточное условие выполнения (7) дает

Теорема Колмогорова. Если последовательность взаимно независимых случайных величин удовлетворяет условию

,

то она подчиняется усиленному закону больших чисел.

Для независимых и одинаково распределенных случайных величин справедлив окончательный результат:

Теорема. Необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых величин является существование математического ожидания.

Проиллюстрируем (6) на примере бросания симметричной монеты, а (8) - на примере равномерно R [0,1] распределенных случайных величин.

1. Выполнение в пакете STATISTICA

Из последовательности x₁ ,..., x_N независимых наблюдений построим последовательность f₁,..., f_N среднеарифметических, где

f_n = , n = 1,..., N

и убедимся графически в том, что f_n c ростом n приближается к математическому ожиданию.