Пример 2. Невыполнение закона больших чисел

Рассмотрим случайную величину, распределенную по закону Коши с плотностью

(3)

Заметим, что плотность симметрична относительно нуля, однако, 0 не является математическим ожиданием; это распределение не имеет математического ожидания. Напомним, что математическим ожиданием называется , если ; последнее, очевидно, для распределения Коши не выполняется. Для последовательности независимых случайных величин, распределенных по закону Коши (3), закон больших чисел не выполняется. Если бы среднеарифметическое º сходилось с ростом n к какой-либо константе, то, в силу симметрии распределения, такой константой мог быть только 0. Однако, 0 не является точкой сходимости. Действительно, можно показать, что при любом e >0 и при любом сколь угодно большом n

(4)

с вероятностью arctg e. (Поясним сказанное: с помощью характеристических функций легко показать, что распределена по (3), а функция распределения для (3) есть arctg x). Эта вероятность, как видно, не стремится к 0 с ростом n. Например, если e = 0.03, то вероятность выполнения (4) равна приближенно P» 0.98, т.е. событие (4) практически достоверно, и можно уверенно ожидать его выполнения с одного раза. Если e =1, то вероятность (4) равна 0.5, и выполнение его хотя бы раз можно уверенно ожидать, проделав 7 экспериментов (т.к. вероятность невыполнения ни разу равна (0.5)⁷ = 1/128). И это при любом фиксированном n, например, n = 1000. Проверим это экспериментально.

При выполнении в пакетах, где нет закона Коши, учтем, что, если случайная величина X распределена равномерно на отрезке длины p, то случайная величина

Y = tg X (5)

имеет плотность (3). Сгенерируем 7 выборок объемом n =1000 и проверим (4) при e =1.