Выполнение в пакете Statistica

В главном меню пакета, в окне STATISTICA Module Switcher выбираем Data Management (управление данными) или Basic Statistics/Tables (основные статистики и таблицы). При появлении предложений отвечаем согласием.

а) Образование вектора длины n = 1850.

File - New Data - File Name: Limit (например) на диске D в директории ТМP - OK. Появляется таблица 10v ´ 10c (10 переменных-строк и 10 столбцов-“случаев”, т.е. наблюдений), преобразуем ее в 1v ´ 1850c: кнопка Edit Variables (Vars) - Delete...- From variable: var 2, to variable: var 10 - OK. Кнопка Edit Cases (Cases) - Add - Number of Cases to Add: 1840 - OK.

или, если выбирать Data Management, то выбрать Create New Data File – New file name: Limit (например) на диске D в директории ТМP - OK. Number of vars: 1v; Number of cases: 1850c – OK.

Можно убедиться прокруткой, что заготовлена матрица 1v ´ 1850c; это же видно в заголовке таблицы.

б) генерация n = 1850 значений a.

Analisis - Modifi Variables...- Current Specs - назовем переменную Name: alpha, введем определяющее выражение Long name:

= trunc (rnd (1) + 0,5)

что означает взять целую часть от случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [0,5, 1,5] (оператор rnd(1) генерирует случайные числа, распределенные равномерно на отрезке [0, 1]) - OK. Вводить можно с клавиатуры или с помощью кнопки Function. Отметим, что генерацию можно было бы осуществлять не во все клетки столбца, а в заранее выделенные.

в) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 170 испытаний.

Выделим первые 170 наблюдений: выделим 1-ю клетку, нажмем и держим Shift, прокрутим таблицу до 170-й клетки и кликнем по ней. Далее:

Edit - Block Stats/Columns - Sum’s (во 2-й раз - Means).

Результат получаем во вновь образованных двух последних строках. Результат записываем и убеждаемся, что ê f_n – 0.5ê < 0.1.

г) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 1850 испытаний.

Выделяем все наблюдения, кликнув по заголовку столбца. Далее так же. Убеждаемся, что ê f_n – 0.5ê < 0.03.

2) Выполнение в пакете SPSS

а) Генерация n = 170 бросаний монеты.

Для образования вектора длины n = 170 прокрутим таблицу до 170 строки, выделим клетку в 1-м столбце, введем точку. Вектор размерности n = 170 создан; присвоим ему имя alpha:

Data - Define Variable...- Var Name: alpha - OK.

Сгенерируем значения a:

Transform - Compute - Target Variable: alpha, Numeric Expression:

TRUNC (UNIFORM (2)) - OK

б) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n = 170 испытаний:

Statistics - Summarise - Descriptives... - в список Variables переносим alpha, Display labels - Options...- отметим Sum и Mean - Continue - OK.

в окне Output олучаем Sum - число выпадений “герба”, Mean - частота выпадений герба. Записываем результаты, убеждаемся, что | f_n – 0.5| < 0.1.

в) Определение частоты появлений “герба” в серии из n = 1850 испытаний. Действия повторяются, кроме образования массива - столбца длины n =1850 (слишком долго прокручивать таблицу). Образуем столбец длиной 60, а затем многократно удвоим его с помощью операций Copy и Paste:

выделяем столбец - Edit - Copy - прокручиваем таблицу до конца, выделяем клетку 61 - Edit - Paste. Массив - столбец длины 120 образован. Повторяем эти действия несколько раз, пока не будет образован столбец длины 1920, из которого удалим последние 70 строк: выделим имена строк с 1920 по 1851, затем Del. Столбец длиной n = 1850 заготовлен.

Сгенерируем значения a, определим число появлений “герба” и относительную частоту. Убеждаемся, что | f_n – 0.5| < 0.03.

Закон больших чисел в форме Чебышева. Одно из основных утверждений закона больших чисел состоит в том, что значение среднеарифметического случайных величин с равными математическими ожиданиями при большом n (при некоторых широких условиях) оказывается приближенно равным a:

уточним: будем писать

при ,

если для любого e >0 и достаточно больших n соотношение

(2)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при n® ¥.

это одно из утверждений закона больших чисел. Заметим, что, как и теорема Бернулли, оно не означает, что соотношение (2) достоверно; однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1, например, 0.98 или 0.999, что означает практически достоверно. Приведем полную формулировку одной из теорем закона больших чисел в форме Чебышева,

Теоремы Чебышева. Если - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной:

,

то для любого e>0

при .