Уравнение Вольтера

Для многих задач понятие «энергия» (кинетическая или потенциальная) трудно определить. Рассмотрим подробно поведение решений на фазовой плоскости уравнения Вольтера, описывающего динамику изменения взаимодействующих популяций хищников и травоядных.

где: –число вегетарианцев; –число хищников; –коэффициент размножения вегетарианцев; –коэффициент смертности хищников; –коэффициент смертности вегетарианцев; –коэффициент размножения хищников. –один из способов моделирования взаимодействия переменных.

1.Система уравнений для нахождения координат осбых точек:

.

Координаты первой точки (0,0).

,

Тогда координаты второй точки:

. (4.6)

Линеаризуем уравнения вблизи особых точек. Для этого разложим правые части дифференциальных уравнений в ряд Тейлора и оставим только линейные члены.

.

Тогда определитель линеаризованной системы будет . Система вблизи особой точки (0,0) примет вид:

.

Значения характеристических чисел будет: .Тип этой особой точки будет седло т.к. и >0.

Определитель системы ДУ, линеаризованной вблизи второй особой точки (4.6) будет:

.

После подстановки значений координат особых точек из (4.6), определитель и характеристические числа для этого случая будут:

; .

Корни получились чисто мнимые и тип особой точки будет центр. Т.е. траектории замкнутые. Получим их.

Рассмотрим поведение системы для больших значений фазовых координат.

В этом случае линейными членами (ввиду их малости по сравнению с не линейными) можно пренебречь.

Преобразованная таким образом система примет вид:

. (4.7)

.

Таким образом, для больших значений фазовых координат, траектория близка к прямой. Полностью фазовый портрет получим при интегрировании исходной системы уравнений с заданными параметрами и начальными условиями для нормированных переменных.Рис.25.

Рис.25. Отображение решений уравнения Вольтера

на фазовой плоскости

Найдём первый интеграл системы (4.7). До множим эти уравнения на и сложим их:

. (4.8)

Умножим исходные уравнения на и сложим их:

. (4.9)

Из (4.8) вычтем (4.9)

.

Полученное выражение умножим на dt и проинтегрируем:

.

Получили первый интеграл исходной системы. Функция - первый интеграл системы ДУ, если она постоянна вдоль каждого решения системы. Для n=2 первый интеграл даёт уравнение фазовых траекторий на плоскости

.

На Рис.26 показаны их проекции на плоскость (N1,N2).

Рис.26. Первый интеграл для уравнения Вольтера и проекция фазовых

траекторий на плоскость (N1,N2)

Фазовые траектории для консервативной системы замкнутые кривые, если С не соответствует критическим точкам на поверхности . Критической точке на поверхности соответствуют особые точки ДУ. В системе с первым интегралом имеются особые точки только типа «центр» и «седло». Точка (1,1) – центр, (0,0) – «седло». Рис.26.

Лемма Морса.

В окрестности не вырожденной критической точки поверхности , можно ввести дифференцируемую замену координат

()

такую, что в окрестности этой точки

будут кривыми второго порядка . центр; седло.

Таким образом, при определении консервативной системы (при сохранении W(t)=C), ясно, что

– первый интеграл уравнения движения.

Система консервативна, если:

.