Уравнения Гамильтона

Для n систем второго порядка (наиболее наглядно это для уравнения движения, где n=1- число уравнений 2-го порядка), после преобразования можно получить эквивалентную систему ДУ из 2n уравнений первого порядка. Эта запись будет в форме Гамильтона.

Обозначим

.

Получим фазовые переменные (x,p) и система для n=1 будет:

. (4.10)

- гамильтониан системы.

В общем случае получается из функции Лагранжа (для механической системы это разница между кинетической и потенциальной энергией) с помощью преобразования Лежандра. Для случая механического движения

. (4.11)

Например

.

Тогда получим систему уравнений для линейного осциллятора:

.

В общем случае .

Тогда (с учётом выражения (4.10)):

.

Если H не зависит от t явно, то . Тогда H(x,p)=const – первый интеграл и системы Гамльтона консервативны. Для механических систем H=T+U – полная энергия.