Теорема Лиувиля

В Гамильтоновой системе сохраняется фазовый объём. Это часть фазового пространства, где определены начальные условия для всех фазовых координат в момент и при этом этот объём не изменяется для всех t. В частном случае (n=2) речь идёт о площади. Рис.27.

Рис.27. Сохранение фазовой площади

. . .

Область интегрирования изменяется по t. Перейдём

c помощью якобиана: (якобиан (D) аналитический признак линейной независимости функций).

. .

.

.

= .

Таким образом - интегральный инвариант гамильтоновой системы.

Примеры. 1. . . .

Рис.28. Трансформация элемента фазовой плоскости для примера 1

Пример 2.

Рассмотрим подробнее процесс трансформации площади для второго примера. На Рис.29 видно, что точки (1,2) лежат на сепаратрисе, (3,4) на замкнутой фазовой траектории. С ростом t точки (1,2), двигаясь по сепаратрисе, попадают в особую (стационарную) точку типа седло и остаются в ней. Точки (3,4) продолжают движение вдоль замкнутой фазовой траектории. В результате начальная форма

сильно искажается, при этом величина площади остаётся неизменной. Рис.30.

Рис.29. Элемент фазовой плоскости для примера 2 при t=0

Рис.30. Трансформация элемента фазовой плоскости для примера 2