Фазового пространства в окрестности особых точек

Общий вид таких уравнений:

,

где (компоненты вектора ) нелинейные функции фазовых координат.

Такие системы не имеют, в общем случае, точного аналитического решения. Но есть методы, позволяющие на качественном уровне оценить поведение решений таких систем. Для детального исследования решений таких систем (например, задачи Коши) используют численные методы.

Будем исследовать систему второго порядка:

(4.1)

Условие равновесия – равенство 0 всех первых производных от фазовых координат. В нашем примере

,

где координаты точек равновесия. Введём обозначение:

Состояние равновесия, для которого , называется простым.

Если разложить в окрестности точек равновесия правые части (4.1) по степеням , то получим:

(4.2)

где члены ряда не ниже второго порядка. Систему (4.2) можно записать (перенеся начало координат в ) в следующем виде:

;

. (4.3)

Для получения качественной оценки поведения решения системы (4.1), достаточно исследовать решение линеаризованных уравнений (4.3) (без ) вблизи всех точек равновесия.