Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.

Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть

Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой . Возьмем многочлен . Так как и векторы образуют базис, то , где -- вещественные числа. Следовательно, является суммой многочленов степеней меньших, чем , и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.

Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется - мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .

Доказательство. Возьмем систему векторов

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

Преобразуем левую часть:

Следовательно,

откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.

Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.

Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается .

Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .

Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из решений, где -- число неизвестных, а -- ранг матрицы . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).

01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Пусть - линейный оператор действующий в линейном пространстве V (комплексном или вещественном) Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается Im A. Таким образом . Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается Ker A. Таким образом . Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V. Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем: 1) тогда и т. к то и т. к. , то является подпространством пространства V. 2) отсюда . является подпространством пространства V. # Пример: Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство. 1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда Im A =Im I = V, Ker A =Ker I ={ θ } / ядро состоит из единственного нулевого элемента / 2) Нулевой оператор , тогда 3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда . Видно, что во всех приведенных примерах справедливо: , что не является случайным. Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора): Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е. Доказательство: Пусть , причем Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе . Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе , поэтому . Рассмотрим ядро оператора А: . В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ: , которая, как известно, имеет (N - R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих Ker A, то отсюда заключаем, что dim(Ker A)= N - R. В результате получаем, что Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора. Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу . Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует. Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что . Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если . Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора): Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А. Доказательство: 1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство Im A является инвариантным относительно оператора А. 2) Пусть . Тогда , т. у. а значит подпространство Ker A инвариантно относительно оператора А.