Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом:

Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на и действующий следующим образом:

На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.