Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в пространстве Rⁿ.

Напомним, что множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D (A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).

Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).

Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker (A): .

Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rⁿ.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A): r= def(A)=dim Ker (A).

Длялинейного оператора , действующего в пространстве Rⁿ, справедливы следующие утверждения:

1) ранг оператора равен рангу его матрицы;

2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.