Матрица линейного оператора

Пусть

, A — линейный оператор в Rⁿ.

Это означает, что в некотором базисе в Rⁿ имют место разложения:

.

Поскольку A — линейный оператор, то

Но следовательно, т.е. — вектор из Rⁿ, компоненты которого — координаты образа базисного вектора

Продолжим вычисления:

Обозначим

.

Тогда т.е. .

Формула связывает вектор-столбец координат образа с вектором-столбцом координат прообраза.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rⁿ —

· называется матрицей линейного оператора A в данном базисе.

Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A (светлая) или A_e — обозначение матрицы оператора A в некотором базисе или в базисе .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространстве Rⁿ определен некоторый базис, и — векторы (столбцы) из Rⁿ и , то векторы-столбцы их координат в этом базисе связаны соотношением , где A — матрица оператора A в этом же базисе.

Между множеством линейных операторов, действующих в Rⁿ и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.