![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А: , сопоставляющее каждому элементу
некоторый элемент
. При этом будем использовать обозначение
А
или
А
.
Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов
из V и произвольного числа
выполняются следующие свойства:
1) А А
+А
(свойство аддитивности);
2) А А
(свойство однородности).
Оператор Е, определяемый равенством Е для любого
из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А)
–А
для всех
из V, назовем противоположным.
Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А
+В
для любого
из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Произведением линейного оператора на скаляр α назовем оператор α А, определяемый равенством А)
А
. Ясно, что α А – тоже линейный оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.
2. β А)
А.
3. А =
А + β А.
4. (А + В) =
А +
В.
Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из V в W.
Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В)
А(В
для любого
из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. АВ) = (
А)В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.
Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А . При этом если А
только при
, то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор
, что А
, то оператор А – вырожденный.
Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из
, если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А–1. Для того чтобы линейный оператор А из
имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.
Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и
отвечают различные элементы
А
и
А
. Для того чтобы линейный оператор А из
имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Ядром линейного оператора А из называется множество всех тех элементов
пространства V, для которых А
. Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА =
.
Областью значений линейного оператора А из или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов
пространства V, представимых в виде
А
, где
. Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из
являются подпростанствами в V.
Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора АrangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dim V = n.
Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности n пространства V.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 375 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!