Линейные операторы и действия над ними

Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А: , сопоставляющее каждому элементу некоторый элемент . При этом будем использовать обозначение А или А .

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов из V и произвольного числа выполняются следующие свойства:

1) А А +А (свойство аддитивности);

2) А А (свойство однородности).

Оператор Е, определяемый равенством Е для любого из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А) –А для всех из V, назовем противоположным.

Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В для любого из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением линейного оператора на скаляр α назовем оператор α А, определяемый равенством А) А . Ясно, что α А – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2. β А) А.

3. А = А + β А.

4. (А + В) = А + В.

Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = ( А)В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А . При этом если А только при , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что А , то оператор А – вырожденный.

Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и отвечают различные элементы А и А . Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

Ядром линейного оператора А из называется множество всех тех элементов пространства V, для которых А . Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА = .

Областью значений линейного оператора А из или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов пространства V, представимых в виде А , где . Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из являются подпростанствами в V.

Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора АrangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dim V = n.

Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности n пространства V.