Диагонализируемые линейные операторы

Определение 8. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид .

Теорема 4. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

Теорема 5. Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем . Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена лежат в ;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.

Пример 3. Пусть — векторное пространство над полем действительных чисел и — линейный оператор на , имеющий в некотором базисе матрицу . Характеристический многочлен этого оператора равен: . Уравнение не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор не имеет собственных значений.

Пример 4. Пусть в предыдущем примере векторное пространство рассматривается над полем комплексных чисел . Тогда характеристическое уравнение оператора имеет 2 корня . Следовательно, оператор имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.