Линейные комбинации. Линейная оболочка

Пусть — некоторое подмножество элементов из .

Определение 1. Линейной комбинацией ¹⁾ элементов из называют сумму , где лишь конечное число элементов отлично от нуля. Элементы называются коэффициентами ²⁾ линейной комбинации.

Пример 1. Кольцо многочленов над полем является, в частности, векторным пространством. Пусть . Линейная комбинация этих векторов — это многочлен степени 2.

Предложение 1. Множество всех линейных комбинаций элементов из является подмодулем в модуле .

Определение 2. Пусть — множество всех линейных комбинаций элементов из , тогда называется подмодулем, порожденным , или - линейной оболочкой ³⁾ множества , и обозначается . При этом называют множеством образующих ⁴⁾ для .

В частном случае векторного пространства над полем данное определение можно переформулировать следующим образом:

Определение 2'. Линейной оболочкой ⁵⁾ подмножества линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций векторов из . Говорят также, что оболочка порождена векторами , или что оболочка натянута на вектора .

Пример 2. В кольце многочленов над полем выберем множество . Линейную оболочку составляют всевозможные многочлены , то есть .

Пример 3. Кольцо многочленов от двух переменных можно рассматривать как левый модуль над кольцом . Пусть , тогда -линейная оболочка множества состоит из элементов , где . Таким образом, .