Предел функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа найдётся такое положительное число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается: или ƒ(х)→А при х→х₀.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют и , то

1) ; (3.1)

2) ; (3.2)

3) ; (3.3)

4) (при ). (3.4)

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х₀, или при х→∞, если её предел равен нулю

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х₀ (или при х→х₀), если имеет место одно из равенств: .

Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций): если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х₀, то ─ бесконечно большая функция при х→х₀, и наоборот.

Первый замечательный предел . (3.5)

Второй замечательный предел . (3.6)

Пример 7 Найти предел

Решение: Поскольку функция непрерывна в точке , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим

Пример 8 Найти предел

Решение: При числитель стремится к пяти (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е.

В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: , , , .

Пример 9 Найти предел

Решение: При числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределённость вида , необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель .

Пример 10 Найти предел

Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение .

.

Пример 11 .

Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х² ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций: