Общая схема исследования функции и построения графика

Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

Пример 15 Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) область определения: ;

2) функция терпит разрыв в точках , .

Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.

; , ─ вертикальная асимптота.

; , ─ вертикальная асимптота;

3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.

Прямая ─ наклонная асимптота, если , .

, .

Прямая ─ горизонтальная асимптота.

4) функция является чётной т.к. . Чётность функции указывает на симметричность графика относительно оси ординат;

5) найдем интервалы монотонности и экстремумы функции.

.

Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует: ; . Имеем три точки ; . Эти точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки на каждом из них.

На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1; +∞) ─ убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум ;

6) найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.

.

Найдём точки, в которых равна 0 или не существует.

не имеет действительных корней. , ,

Точки и разбивают действительную ось на три интервала. Определим знак на каждом промежутке.

Таким образом, кривая, на интервалах и выпуклая вниз и выпуклая вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, т. к. функция в точках и не определена;

7) найдем точки пересечения с осями.

С осью график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.

График заданной функции изображен на рисунке 5.

Рисунок 5 ─ График функции