Тема 6. Функция двух переменных

Определение. Есликаждой паре чисел по некоторому закону поставлено одно определённое число , то говорят, что на множестве D задана функция Z=f(x,y).

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести понятие частной производной нескольких переменных.

Определение. Величина называется полным приращением функции в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента или только приращения аргумента , то полученные приращения функции соответственно: и называются частными.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел , вычисленный при постоянном .

Определение. Частной производной от функции по называется конечный предел , вычисленный при постоянном .

Обозначается частная производная так: или .

Пример 16 Найти частные производные функций^:

a) ; b) .

Решение:

а) при нахождении частной производной по х будем рассматривать как величину постоянную. Получим: .

Аналогично, дифференцируя по у, считаем постоянной величиной, т.е. ;

b) при фиксированном имеем степенную функцию от х, таким образом, ;

при фиксированном функция является показательной относительно , тогда .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

Пример 17 Найти полный дифференциал функции .

Решение: ; ; .