Производная и дифференциал. Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X

Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку х Х. Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .

Основные правила дифференцирования

Если С ─ постоянное число, ─ функции, имеющие производные, тогда:

; (I)

; (II)

; (III)

; (IV)

. (V)

Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргу­ментов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. (VI).

Таблица производных основных функций

№	Формула		Формула
	(
	(

Пример 14 Найти производные функций:

a) ; b) ; c) .

Решение:

а) функцию можно представить в виде , где . Поэтому, используя правило дифференцирования (VI) и формулы таблицы производных ;

b) функция представлена произведением двух функций, поэтому на основании правила (IV)

c) функцию можно представить в виде , где , используя формулу (26) и правила дифференцирования (V) и (VI) получим:

Определение. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. . Итак, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .