Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функции на некотором промежутке D, если для всех из D выполняется: .

Например, является первообразной для функции на всей числовой прямой, т. к. для всех . Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для может быть представлена в виде , где C — произвольная постоянная.

Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции и обозначается ; здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования.

Согласно определению, , где .

Введем объяснение записи , которая обозначает дифференциал . Если функция дифференцируема в точке х, то, значит, существует производная в этой точке, т. е.

.

Согласно определению предела функции, можно записать, что:

, где .

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента, т. е. слагаемое . Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Следовательно, ;.

Свойства дифференциала:

1. , где .

2. .

3. .

4. .

Запишем теперь свойства неопределенного интеграла.

1. .

2. .

3. , где .

4. .

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Таблица основных интегралов:

1. ;

2. , при ;

3. ;

4. .

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.

Пример 1. Найти:

.

Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Если , тогда справедлива следующая формула замены переменной:

.

Пример 2. Найдем интеграл: .

Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим

. Тогда . Следовательно,
. Подставим найденные выражения в исходный интеграл:
.

Пример 3. Найдем интеграл: .

Введем переменную . Тогда
.

Следовательно, . Подставим найденные выражения в интеграл:
.

Существует еще один метод интегрирования: интегрирование по частям. Если функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве D, тогда справедлива формула интегрирования по частям:

.

Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению , который иногда может оказаться более простым.

Пример 4. Найдем .

Обозначим ; .

Для того, чтобы воспользоваться формулой интегрирования по частям, необходимо найти и .

Найдем: . Значит .

. Значит: .

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

.

Пример 5. Найдем: .

Обозначим: , .

Тогда . Найдем

.

Таким образом, . Поставим найденные выражения в формулу интегрирования по частям:

.