Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Функция называется первообразной функции на некотором промежутке D, если для всех из D выполняется: .
Например, является первообразной для функции на всей числовой прямой, т. к. для всех . Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для может быть представлена в виде , где C — произвольная постоянная.
Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции и обозначается ; здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования.
Согласно определению, , где .
Введем объяснение записи , которая обозначает дифференциал . Если функция дифференцируема в точке х, то, значит, существует производная в этой точке, т. е.
.
Согласно определению предела функции, можно записать, что:
, где .
Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента, т. е. слагаемое . Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
Следовательно, ;.
Свойства дифференциала:
1. , где .
2. .
3. .
4. .
Запишем теперь свойства неопределенного интеграла.
1. .
2. .
3. , где .
4. .
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Таблица основных интегралов:
1. ;
2. , при ;
3. ;
4. .
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. .
Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.
Пример 1. Найти:
.
Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Если , тогда справедлива следующая формула замены переменной:
.
Пример 2. Найдем интеграл: .
Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим
. Тогда . Следовательно,
. Подставим найденные выражения в исходный интеграл:
.
Пример 3. Найдем интеграл: .
Введем переменную . Тогда
.
Следовательно, . Подставим найденные выражения в интеграл:
.
Существует еще один метод интегрирования: интегрирование по частям. Если функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве D, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению , который иногда может оказаться более простым.
Пример 4. Найдем .
Обозначим ; .
Для того, чтобы воспользоваться формулой интегрирования по частям, необходимо найти и .
Найдем: . Значит .
. Значит: .
Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:
.
Пример 5. Найдем: .
Обозначим: , .
Тогда . Найдем
.
Таким образом, . Поставим найденные выражения в формулу интегрирования по частям:
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 288 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!