![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется первообразной функции
на некотором промежутке D, если для всех
из D выполняется:
.
Например, является первообразной для функции
на всей числовой прямой, т. к.
для всех
. Если
— первообразная для функции
, то любая другая первообразная для
может быть представлена в виде
, где C — произвольная постоянная.
Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции и обозначается
; здесь
— знак интеграла,
— подынтегральная функция,
— переменная интегрирования.
Согласно определению, , где
.
Введем объяснение записи , которая обозначает дифференциал
. Если функция
дифференцируема в точке х, то, значит, существует производная в этой точке, т. е.
.
Согласно определению предела функции, можно записать, что:
, где
.
Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента, т. е. слагаемое
. Дифференциалом аргумента
называется приращение аргумента:
. Дифференциал функции
равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
Следовательно, ;.
Свойства дифференциала:
1. , где
.
2. .
3. .
4. .
Запишем теперь свойства неопределенного интеграла.
1. .
2. .
3. , где
.
4. .
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Таблица основных интегралов:
1. ;
2. , при
;
3. ;
4. .
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. .
Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.
Пример 1. Найти:
.
Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Если , тогда справедлива следующая формула замены переменной:
.
Пример 2. Найдем интеграл: .
Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим
. Тогда
. Следовательно,
. Подставим найденные выражения в исходный интеграл:
.
Пример 3. Найдем интеграл: .
Введем переменную . Тогда
.
Следовательно, . Подставим найденные выражения в интеграл:
.
Существует еще один метод интегрирования: интегрирование по частям. Если функции и
определены и дифференцируемы на некотором множестве D, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению
, который иногда может оказаться более простым.
Пример 4. Найдем .
Обозначим ;
.
Для того, чтобы воспользоваться формулой интегрирования по частям, необходимо найти и
.
Найдем: . Значит
.
. Значит:
.
Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:
.
Пример 5. Найдем: .
Обозначим: ,
.
Тогда . Найдем
.
Таким образом, . Поставим найденные выражения в формулу интегрирования по частям:
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!