Нахождение наибольшего и наименьшего значений не-прерывной функции на отрезке

Функция с областью определения достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка , такая, что для всех выполняется неравенство: , . Не-прерывная на отрезке [ а, b ] функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Находим наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке [ а, b ] по следующей схеме:

1. Находим .

2. Находят точки, в которых или не существует, и отбирают из них те, что лежат внутри отрезка [ а, b ].

3. Вычисляют значения функции в точках, полученных в пункте 2 и на концах отрезка, и выбирают из них наибольшее и наименьшее. Эти значения и будут искомыми значениями.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 4].

Данная функция является непрерывной на отрезке [1, 4]. Поэтому мы можем воспользоваться вышеприведенной схемой.

1. .

2. Найдем точки, в которых или не существует. не существует в точке . Точка не принадлежит отрезку [1, 4], значит, мы не рассматриваем ее.

. Значит: ; ; .

Следовательно, в точке .

Найдем значения функции в точке и на
концах отрезка, т. е. в точках , .

Аналогично: ; . Следовательно, при ; при .