Ранг матрицы. Векторы , , , называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа

Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа , одновременно не все равные нулю, что:

(5.1)

Векторы , , являются линейно зависимыми, т. к., например, для , , выполняется:

.

Векторы , , …, называются линейно независимыми, если (5.1) выполняется только при условии: . Например, векторы , , являются линейно независимыми, так как:

,

следовательно: .

Несложно показать, что векторы вида: , , …, являются линейно независимыми.

Квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде совокупности n векторов:

Рангом матрицы А rk A называется количество линейно независимых столбцов векторов этой матрицы (которое, кстати, всегда совпадает с количеством линейно независимых строк — векторов матрицы). Для нахождения ранга матрицы необходимо матрицу привести к треугольному виду, в котором все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Для этого можно переставлять строки местами и прибавлять к элементам одной строки элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Тогда ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк в треугольной матрице.

Пример. Найдем ранг матрицы А:

Переставим первую и вторую стро-ки местами:

Затем вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки первую, умноженную на 2:

Таким образом, получили треугольную матрицу. Ранг исходной матрицы равен количеству ненулевых строк в треугольной матрице, т. е. двум. Значит: rk A = 2